四、速度和速率

    1. 平均速度和平均速率

         在一般情况下,质点运动的方向和运动的快慢在各个时刻或者在各个位置上是不同的。为了大致地描述质点运动的方向和运动的快慢,大家首先引入平均速度。

  如果质点在 时间内的位移为Dr,则质点的平均速度 定义为

                             .                       (1-4)

图 1-5

平均速度是矢量, 这个矢量的大小决定于位移的模|Dr|与所取时间间隔Dt的比值;这个矢量的方向与位移矢量 Dr 的方向相同。由图1-5可以看出,位移 Dr 的方向与所取时间间隔 的大小有密切关系。在 时刻,质点处于点A,如果经过的时间间隔为 ¢, 质点到达点B',位移为Dr ¢,在图1-5中由有向线段 表示。在这段时间内质点运动的平均速度为

                          .                       (1-5)

如果经过的时间间隔为 , 质点从点A到达点B ²,位移为 ,在图1-5中由有向线段 表示。

那么在这段时间内, 质点运动的平均速度为

               .        (1-6)

显然, 这两个平均速度,不但大小不同,方向也不同。

    由此可见, 平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔的大小。但是,时间间隔应该取多大,平均速度概念本身并没有加以限定。所以,当使用平均速度来表征质点运动时,总要指明相应的时间间隔。

  大家把质点所经过的路程 Ds与所需时间Dt的比值

                                                   (1-7)

称为质点在 Dt时间内的平均速率。平均速率是标量, 它等于质点在单位时间内所通过的路程, 而不考虑运动方向如何。

    平均速率和平均速度是两个不同的概念。前者是标量, 后者是矢量。另外, 它们在数值上也不一定相等, 因为当质点沿曲线运动时,Ds≠|Dr|。如果在Dt时间内,质点沿闭合曲线运行一周,则在这段时间内质点的平均速度等于零,而相应的平均速率却不等于零。所以,平均速率与平均速度的关系,和路程与位移的关系颇相似。

    2. 瞬时速度和瞬时速率

         用平均速度来描述质点的运动是比较粗略的,因为它只反映在某段时间内或某段路程中质点位置的平均变化。只有当质点以恒定速度运动时,平均速度才是质点在某一时刻的真正速度。

    从上所述,大家已经知道,平均速度与所取的时间间隔有关,时间间隔越短,在这段时间内运动的变化就越不明显,平均速度就越接近于真实速度。如果所取时间间隔 Dt趋近零,平均速度的极限就表示质点在某一时刻的真实速度,这个极限就是质点运动的瞬时速度。瞬时速度也就是质点的真实速度。数学上可以表示为                                                                       

                       .                      (1-8)

式(1-8)表明, 质点运动的瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。大家所说的物体运动速度, 通常就是指它的瞬时速度。

            图 1-6

    速度是矢量, 它的方向是当 Dt趋于零时,平均速度或位移的极限方向。如果质点沿着图1-6所示的曲线L运动,在Dt时间内,质点从点A到达点B,位移为Dr,由有向线段 表示。随着所取时间间隔Dt的逐渐缩短, 点B也逐渐向点A靠近, 如图1-6中的B'B ² 等, 位移分别变为Dr ¢Dr ² 等。当Dt趋于零时, 点B趋于点A, 位移的方向趋于曲线在点A的切线方向。所以, 当质点沿任意曲线运动时,质点在曲线某点的速度方向,就是曲线在该点的切线方向。

    大家把 Dt趋于零时平均速率的极限,定义为质点运动的瞬时速率,或称速率,即

                         .                    (1-9)

因为当Dt趋于零时,路程的极限等于质点位移矢量的模的极限,所以

                       .                   (1-10)

既然速率等于速度的模, 即等于速度的大小, 所以速率总是正值。

    速度和速率具有相同的单位, 在国际单位制中为m×s-1  (米/秒)。

    根据速度的定义式(1-8), 可得

                            .

若求质点在从t0t 时间内完成的位移,可对上式在此时间内积分,即

                     ,           (1-11)

上式称为位移公式。如果已知质点运动速度与时间的函数关系,代入上式积分可算得位移。

       
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