五、加速度

    在很多情况下,质点运动的速度是在变化的。速度的变化一般包括速度大小的变化(即速率的变化)和速度方向的变化两部分。在有的运动中,速度的大小随时间在变化,而速度的方向不变,这是变速直线运动的情形;在有的运动中,速度的方向在不断变化,而速度的大小恒定不变,这是匀速曲线运动的情形;还有的运动,速度的大小和方向都随时间在变化,这是任意的曲线运动情形。在上述这些运动中,都存在速度随时间变化的问题。为了描述速度随时间的变化,大家引入加速度这个物理量。

图 1-7

    设质点沿着图1-7(a)所示的任意曲线L运动,在t时刻,质点处于点A,速度为vA,在t+Dt时刻,质点到达点B,速度为vB。在Dt时间内,速度的增量为

                         ,                         (1-12)

式中 可用平行四边形定则求得[见图1-7(b)]。显然,矢量 是速度大小的变化和速度方向的变化共同引起的。质点运动的加速度定义为

                     .                (1-13)

上式表示, 加速度等于速度对时间的微商, 或等于位置矢量对时间的二阶微商。

图 1-8

    加速度的方向与 Dt趋于零时 的极限方向一致。当质点沿直线运动时, 的极限方向也一定沿着该直线:如果质点作加速运动,v的数值不断增大, 的方向必定与v的方向相同,加速度a的方向也必定与速度v的方向相同;如果质点作减速运动,v的数值不断减小, 的方向必定与v的方向相反,加速度a的方向也必定与v的方向相反。当质点沿曲线运动时, 的极限方向不但决定于质点是作加速运动还是作减速运动, 而且还与曲线的弯曲形状有关。在图1-8中,质点在任意两个非常靠近的位置AB的速度分别为vAvB ,将矢量vB 平移到点A, 根据平行四边形定则可马上得到 ,于是可以清楚地看到, 的极限方向始终指向曲线的凹侧。既然加速度a的方向与 的极限方向一致, 那么加速度a的方向也必定指向曲线的凹侧。质点在任一位置上的加速度与速度之间的夹角q 存在下面的规律:当 时, q > p/2, 如图1-8(a)所示;当 时, q  < p/2, 如图1-8(b) 所示。这表明,当质点作减速运动时,加速度方向与速度方向成钝角;当质点作加速运动时,加速度方向与速度方向成锐角。由此可以推断, 当vA = vB时,必定有q =p/2, 即当质点作匀速率曲线运动时,加速度的方向与速度的方向相垂直。

    在国际单位制中, 加速度的单位是m×s-2 (米/秒2)。

    根据加速度的定义式(1-13), 可得

                          ,

若求质点在从 时间内速度的变化, 可对上式积分。如果在时刻 ,质点的速度为v0,在时刻 , 质点的速度为v, 那么速度的变化可写为

                        ,

或写为

                         ,                     (1-14)

这称为速度公式。将式(1-14)代入式(1-11), 可以得到位矢的一般表达式

                    .               (1-15)

如果知道质点运动加速度与时间的函数关系, 代入上式积分就可以求得位置矢量。

       
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