§1-3  描述质点运动的坐标系

    前面大家已经阐明描述质点运动必须选择参考系。但是,仅有参考系还不能把质点运动时的确切位置定量地表示出来,再在参考系上建立坐标系则可以解决这个问题。另外,物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方程, 而矢量方程的求解,特别是矢量的积分,必须先化为分量式才可以进行。可见,建立坐标系是十分重要的。

    一、直角坐标系

                

图 1-9

                                                     

在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。通常采用的直角坐标系属右旋系, 即当右手四指由x轴方向转向y轴方向时, 伸直的拇指则指向z轴的正方向。

如果图1-9中的点P (其坐标为xyz)代表大家所讨论质点在某时刻的位置,那么从坐标原点O向点P所引的有向线段就是质点在该时刻的位置矢量r。显然,位置矢量r可以表示为                

                        r = x i + y j + z k ,                   (1-16)

其中ijk分别是xyz方向的单位矢量。位置矢量r的大小可由下式决定

                       .                 (1-17)

位置矢量r的方向可用它的方向余弦来表示

                  .           (1-18)

这三个方向余弦存在下面的关系

                   .               (1-19)

质点运动的轨道参量方程式(1-1)可以写成分量形式

                                                 (1-20)

原则上,从上式消去参变量t,可以得到质点运动的轨道曲线的方程式。

    将位置矢量的表达式(1-16)代入速度的定义式(1-8),可得

            ,           (1-21)

其中vx vyvz分别是速度v的三个分量

                     .                                  (1-22)

速度的大小可以表示为

                    .                  (1-23)

    将速度矢量和位置矢量的表达式代入加速度的定义式(1-13), 可得

         

             ,                                 (1-24)

式中 为加速度矢量a的三个分量, 它们分别表示如下

         .                  (1-25)

加速度的大小为

                      .               (1-26)

    由式(1-21)和式(1-24)可以看到,任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关,而与其他方向的分量无关。于是就得到一个十分重要的结论,即质点的任意运动都可以看作是,由在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。或者说,质点的任意运动都可以分解为,在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动。这便是运动叠加原理在直角坐标系中的表示。

    如果质点在某个方向(例如x方向)上的速度不随时间变化,也就是说, 质点在该方向上的分运动为匀速直线运动,那么在x方向上的位移可根据位移公式(1-11)求得

                        .               (1-27)

    如果质点在某个方向(例如x方向)上的加速度不随时间变化,也就是说,质点在该方向上的分运动为匀变速直线运动,那么在x方向的速度变化可根据速度公式(1-14)求得

                        .

若取 = 0, 则上式变为

                           ,

或改写为

                          .                   (1-28)

同时还可以根据公式(1-15), 求得在该方向上的位移

                         .               (1-29)

由式(1-28)解出t,代入式(1-29),可以得到另一个关系

                        .              (1-30)

由式(1-30)和式(1-28)可以得到

                        .                 (1-31)

式(1-28)、(1-29)、(1-30)和式(1-31)都是大家在中学物理中已经熟悉的描述匀变速直线运动规律的方程式,这里大家用高等数学方法一一得出来了。

    例题 1-1  通过岸崖上的绞车拉动纤绳将湖中的小船拉向岸边, 如图1-10(a)所示。如果绞车以恒定的速率 u 拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度v 和加速度a

    解  以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图1-10(b)所示。设小船到坐标原点的距离为l, 显然, 任意时刻小船到岸边的距离x总满足

                              x 2 = l 2 - h 2 .

上式两边同时对时间t 求导数, 得

                            ,

式中 是绞车拉动纤绳的速度,因为纤绳随时间在缩短, 故 ;  则是小船向岸边移动的速度,正是需要求的量。由上式可得

                        ,                     (1)                                                                    

        (a)                      (b)   

图 1-10

式中负号表示小船的速度沿x 轴的反方向。小船向岸边移动的加速度为

                          ,                    (2)

负号的意义与速度的相同。

    由上面的结果可以看到, 小船的移动速率| v |总是比绞车拉动纤绳的速率u大, 并且绞车的位置离水面越高,| v |比u就越大。由式(2)可见,小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大。

图 1-11

    例题 1-2  抛体运动是发生在竖直平面内的二维空间的运动。在抛体运动中的加速度就是重力加速度 , 它大小恒定, 方向向下。现假设物体以初速度v0沿与水平方向成 角的方向被抛出, 忽略空气的影响, 求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。

    解  首先必须建立坐标系,取抛射点为坐标原点Ox轴水平向右,y轴竖直向上,如图1-11 所示。于是物体的抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动相叠加。

    在x方向上                                                                     

                  .                  

    在y方向上

xy的表达式中消去参变量t,就可得出抛体运动的轨道方程

                      ,

这是抛物线方程。所以,忽略空气阻力的抛体运动的轨迹是抛物线。

    在轨道方程中,令y = 0,得

                       .

这个方程有两个解,一个是x1 = 0,这是抛射点的位置,另一个是

                              ,

这就是射程。由射程的表达式可以看到, 当抛射角q0 p/4时,射程为最大。将射程代入xt的关系式,就可以求得物体的飞行时间

                       .

当物体到达最大高度时, 必定有vy = 0, 于是可求得物体到达最大高度的时间

                                .

将此式代入yt的关系式,就可以求得物体所能到达的最大高度

图 1-12

       .

在以上的讨论中, 大家忽略了空气的影响。实际上, 由于空气的影响, 物体的运动轨道并不是抛物线, 而是图1-12中虚线所示的弹道曲线。显然, 物体的实际射程和最大高度都比上述值要小。另外,在求解过程中, 大家使用了运动的叠加原理。特别是在直角坐标系中, 这一原理是求解复杂运动的强有力工具。

 

 

 

       
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