*二、平面极坐标系

               
图 1-13

    虽然直角坐标系是最广泛采用的坐标系, 但在处理如圆周运动一类的平面运动时, 采用平面极坐标系更为简便。取参考系上一固定点O作极点, 过极点所作的一条固定射线OA称为极轴。过极轴作平面, 并假定质点就在该平面内运动。在某时刻质点处于点P, 连线OP 称为点P的极径, 用 r 表示;自OAOP所转过的角q 称为点P的极角。于是点P的位置可用两个量(r,q )来表示, 这两个量就称为点P的极坐标, 如图1-13所示。质点P的位置矢量r(t)可以表示为

                        ,                    (1-32)

式中 (t)是极径方向的单位矢量, 长度为1, 沿r增大的方向。因为随着质点的运动, 点P的极角在改变, 的方向也相应改变, 所以 的方向是时间的函数, 故写为 (t)。

    根据定义, 质点的速度应表示为

                  ,                (1-33)

式中 是单位矢量 的方向随时间的变化率。为了弄清它的意义, 让大家看图1-14。在 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到达点B, 极角的增量为 。将 (t) 和 平移到点O ¢, 矢量末端分别为A¢ B¢, 由点A¢ 向点B¢ 所引的有向线段 就是径向单位矢量的增量 。因为

                      ,

DO¢A¢B¢ 是一等腰三角形, 当Dt→0时, 底边趋于与腰垂直, 的方向趋于

极角增大的方向, 引入该方向的单位矢量 。于是下面的关系成立

                .            (1-34)

将上式代入式(1-33)得

                        ,                 (1-35)

图 1-14

上式的第一项是速度的径向分量, 称为径向速度, 第二项则是速度的横向分量, 称为横向速度。这样上式又可以表示为

                        ,                    (1-36)

其中

                        .                    (1-37)

所以, 在一般情况下速度的大小应由下式算出

                .               (1-38)

    当质点沿直线运动时, 取该直线为极径,极角为常量, 故有

                       ;                                                                      

当质点沿圆周运动时, 极径就是圆周的半径, 为常量, 则有

                        .                                                                      

这个结果大家并不陌生。当质点绕极点作圆周运动时, 显然不可能存在径向速度。而横向速度

                   ,                                                                                                   

就是质点沿圆周切向的速度。在圆周运动中, 常引入角速度的概念, 它被定义为

                           ,                         (1-39)

这样, 横向速度又可以表示为

                           .

    根据加速度的定义, 质点运动的加速度可以表示为

              (1-40)

式中出现了单位矢量 随时间的变化率 , 让大家通过图1-15看一下它的意义。图中表示, 质点在t时刻处于点A, 该处的横向单位矢量为 , 经过 时间质点到达点B, 该处的横向单位矢量为 。将

图 1-15

都平移到点O¢ 处, 则有向线段 就是横向单位矢量的增量 ,并且DO¢A¢B¢ 是等腰三角形。当Dt→0时, 趋于与 垂直, 即指向 的方向, 其大小 。于是有

                .            (1-41)

将式(1-34)和式(1-41)代入式(1-40),得

          

              ,                                       (1-42)

其中

             ,    (1-43)                                                    

分别称为径向加速度和横向加速度。

    当质点沿直线运动时, 取该直线为极径,极角为常量, 则有

                     ;                    (1-44)

当质点沿圆周运动时, 极径 r 就是圆周的半径, 为常量, 故有

                  .            (1-45)

为了使这个结果更清楚, 让大家进行下面的推算

                 ,                   (1-46)

                  .              (1-47)

前一项是圆周运动的向心加速度, 负号表示这个加速度的方向指向极点, 即圆心;后一项称为切向加速度, 沿圆周的切线方向。在圆周运动中还常引入另一个物理量, 它就是角加速度, 定义为

                         .                  (1-48)

于是, 径向加速度和横向加速度可分别表示为

                      .

这是描述圆周运动常用的关系式。

图 1-16

    例题 1-3  一细棒以恒定的角速度w绕其端点O 旋转, 棒上套一小球, 小球以恒定的速度u 沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点O, 求t 时刻小球的速度和加速度。

    解  取棒的端点O 为极点, 在细棒旋转的平面内建立极坐标系, 将初始时刻棒的位置取为极轴。在此坐标系中, 小球的位置 (图1-16) 可用极坐标(r, q )表示, 其中

                            .

将上式代入公式(1-36), 可求得小球的速度

                              .

可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度, 横向速度则是t 的线性函数。

    根据公式(1-42), 小球的加速度可表示为

                           .

由上式可以看到, 径向加速度是时间的线性函数, 横向加速度则为常量。

       
XML 地图 | Sitemap 地图