三、自然坐标系

    沿着质点的运动轨道所建立的坐标系称为自然坐标系。取轨道上一固定点为坐标原点, 同时规定两个随质点位置的变化而改变方向的单位矢量, 一个是指向质点运动方向的切向单位矢量, 用t 表示, 另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量, 用n表示。

    因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向的, 所以在自然坐标系中, 速度矢量可以表示为

                         .                   (1-49)

而加速度矢量应由下式表示

                  .            (1-50)

上式中的第一项 显然是表示由于速度大小变化所引起的加速度分量, 大小等于速率的变化率, 方向沿轨道的切向, 故称切向加速度, 用 表示可写为

                           .                       (1-51)

第二项 是由速度方向变化所引起的加速度分量, 其大小和方向有待于进一步探讨。

    在图1-17中表示质点在t 时刻处于轨道L的点A, 此处的切向单位矢量为t(t), 经过Dt时间质点到达点B, 此处的切向单位矢量为t(t+Dt)。将单位矢量t(t)和t(t+Dt)平移到点O ¢, 矢端分别为A¢ B¢。由点 A¢ 向点 B¢ 所引的有向线段 就是单位矢量的增量 。当 →0时, 点B 趋近于点A, 与此相应, 等腰三角形O¢A¢B¢ 的顶角 →0。可见 的极限方向必定垂直于 , 指向轨道的凹侧, 即与法向单位矢量n一致,并且下面的关系成立

                     .

图 1-17

故式(1-50)的第二项得名为法向加速度, 并记为

                          .                     (1-52)

如果轨道在点A 的内切圆的曲率半径为r, 那么

                  .                (1-53)

所以, 在一般情况下, 质点的加速度矢量应表示为

                      .               (1-54)

       
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