§1-5  力学中常见的力  

    牛顿运动定律是质点动力学的基本规律,而其中的核心问题则是力。所以, 正确分析物体受力就成了解决力知识题的关键。力学中常见的力有三种, 它们是万有引力、弹性力和摩擦力。在这里,大家将分析这三种力的性质和所遵从的规律。

    一、万有引力

    宇宙中的一切物体都在相互吸引着。地球和其他行星绕太阳的运动;月亮和人造地球卫星绕地球的运动; 上抛的物体若没有别的物体托住, 总要落回地面。这些现象都是物体之间存在吸引力的表现, 这种吸引力就是万有引力。万有引力是自然界的基本力之一,在宇宙中万有引力是起支配作用的。有万有引力的空间内存在着一种物质,称为引力场,物体之间的(万有)引力相互作用是通过引力场传递的。粒子物理学进一步认为,引力相互作用是通过引力子传递的。引力子是目前正在探索、但尚未观测到的一种微观粒子。

    万有引力遵从万有引力定律:任何两个质点之间都存在互相作用的引力, 力的方向沿着两质点的连线;力的大小与两质点质量m1m2 的乘积成正比, 与两质点之间的距离r12 的平方成反比, 即

                       ,                    (1-62)

式中 G = 6.674210´10-11 N × m2 × kg-2 , 称为引力常量。若写成矢量形式, 则质点m1对质点m2 的万有引力F12 应表示为

                     ,                 (1-63)

其中r12表示从质点m1到质点m2所引的有向线段, 负号表示F12的方向与r12的方向相反。

    关于具有一定大小的物体之间的万有引力, 若物体的线度与它们之间的距离相比很小时, 则可把它们看为质点, 式(1-62)和式(1-63)近似适用。如果这个条件不满足, 那么它们之间的万有引力不能直接用这两个公式来表示。这时应根据公式(1-63)计算出第一个物体内每个质点对第二个物体内所有质点之间的作用力的合力, 然后求出所有这些合力的矢量和, 才是这两个物体之间的万有引力。如果这两个物体是质量分布均匀的球体, 或质量按同心球壳方式分层分布的球体, 则它们之间的万有引力具有与式(1-62)和式 式(1-63)相同的形式。不过这时的r12表示从球体m1的球心到球体m2的球心的有向线段。

    在万有引力定律中引入的物体质量, 称为引力质量。引力质量与在牛顿运动定律中引入的惯性质量一样, 也是物体自身的一种属性的量度, 它表征了物体之间引力作用的强度。虽然引力质量和惯性质量代表了物体的两种不同的属性, 然而精确的实验研究和理论分析表明, 对于任一物体来说, 这两个质量都是相等的。这一重要结论正是爱因斯坦创立广义相对论的实验基础。

    若把地球近似看作各层质量均匀分布的、半径为R、质量为M的球体, 则地面上一个质量为m的物体与地球之间的万有引力的大小可以表示为

                          .

这个物体因受到地球的引力而获得加速度, 这个加速度就是重力加速度g, 根据牛顿第二定律, 应有

                            F = m g .

由以上两式可得

                           .                     (1-64)

由上式可以得到这样两个重要结论:(1) 物体的重力加速度g的数值与其本身的质量无关;(2) 重力加速度g的数值随着离开地面的高度的增加而减小。

    由于地球的半径R很大(约为6.37´106 m ), 所以地面附近不同高度处g的数值变化甚微, 可以不必考虑。由于地球的自转, 地面各处的g值有明显差异。根据近代大地测量的结果, 重力加速度与纬度 f 的关系可用下面的经验公式表示

      .

重力加速度的标准值为9.80665 m×s-2 , 北京地区的重力加速度为9.8011 m×s-2

    例题 1-5  应以多大速度发射,才能使人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动?

    解  近似认为地球是一个半径为R的均匀球体, 人造地球卫星离地面的高度为h, 它绕地球作匀速圆周运动所需要的向心力为

                           ,

式中m是人造地球卫星的质量, v是运行速率,  r是轨道半径。若认为卫星只受地球引力的作用, 地球的引力就是人造地球卫星作匀速圆周运动的向心力。地球的引力可根据万有引力定律求得

                        ,

F1 = F2

                             .

在半径等于地球半径的圆形轨道上运行的人造地球卫星所需要的速度, 也就是发射这样的卫星所需要的速度,称为第一宇宙速度。在上式中令h = 0, 并将式(1-64)代入, 即得第一宇宙速度为

                              .

因为地球的半径为 , 重力加速度为 , 所以

                          .

    例题 1-6  开普勒定律表明, 行星都是沿椭圆轨道绕太阳旋转的, 太阳位于椭圆的一个焦点上。试求行星绕太阳运行的运动方程, 并证明行星相对太阳的极径在相等的时间内扫过相等的面积。

    解  设太阳和行星的质量分别为Mm, 并且都可认为是质点。行星与太阳之间的万有引力为行星绕太阳旋转提供了向心力。采用太阳位于极点的极坐标系, 行星所受太阳的万有引力可以表示为

                            .

根据牛顿第二定律和加速度在极坐标中的表示, 即式(1-42), 行星的运动方程可以写为

                     .

将极坐标中径向加速度和横向加速度的表示式(1-43)代入上式, 得

                                             ( 1 )                                                      

这就是行星的运动方程。

图 1-19

    由图1-19可见, 行星相对太阳的极径 r 在dt 时间内扫过的极角为 , 扫过的面积(阴影部分)应表示为

   ,

单位时间内扫过的面积为

            .

如果极径在相等的时间内扫过相等的面积, 就是在单位时间内扫过的面积都相等, 也就是 = 恒量,即

                              = 恒量,                        ( 2 )

那么下式必定成立

                              ,

                          ,

用极径 r 除以方程两边, 就是上面所得到的行星运动方程(1)的第二式。所以式(2)必定成立。这就证明了行星极径在相等的时间扫过相等的面积。

    这个例题实际上是开普勒定律的一部分内容, 这个定律的完整表述应为:(1) 每一行星都沿椭圆轨道绕太阳运行, 太阳位于椭圆轨道的一个焦点上;(2) 行星运行时, 太阳到行星的极径在相等的时间内扫过相等的面积;(3) 行星绕太阳公转周期的平方正比于轨道半长轴的立方, 两者的比值为一恒量。以上这些内容, 都可以根据牛顿运动定律和万有引力定律加以证明。

       
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