二、伽利略变换

图 1-27

    设有两个惯性系S (O-xyz )和S¢(O¢ -x'y'z' ),其中x轴与x'轴相重合, y轴与y '、 z轴与z '轴分别相平行, 并且S'系相对于S系以速度v沿x轴作匀速直线运动, 如图 1-27所示,计时开始时刻,两坐标原点OO¢ 相重合。在长度测量的绝对性和同时性测量的绝对性的假定下, 即认为时间和空间是相互独立的, 绝对不变的, 并与物体的运动无关, S系与S'系之间的变换可以表示为

                          ,                  (1-68)

其逆变换为

                          ,                  (1-69)

式(1-68)和式(1-69)称为伽利略变换。

    长度测量的绝对性和同时性测量的绝对性与大家日常的经验是一致的, 人们是容易接受的。但是这两种绝对性只有在两个惯性系之间的相对速度v的大小远小于真空中的光速c的情况下, 才是正确的。这种情形在以后讨论狭义相对论时大家会清楚地看到。

    上面大家所说的, 力学规律在“所有惯性系都是等价的”,是指牛顿运动定律及由它所导出的力学中的其他基本规律在所有惯性系中都具有相同的形式,而不是说在不同的惯性系中所观察到的物理现象都相同。下面让大家看一下牛顿第二定律经伽利略变换的情形。

  当一质点运动速度远小于光速时,可认为其质量与其运动状况无关,所以在上述两个惯性系中观察这个质点,必定质量相同,即m = m¢。在这样两个参考系中观察同一个力,也一定会得到相同的量值,即F = F ¢。最后看一下这个质点的加速度。若在S系中观察到质点的运动速度为 u , 其分量为

                  .

在S'系中观察到质点的运动速度为u', 其分量为

                  .

式(1-68)中的前三式对时间求微商, 考虑到第四式, 则可得到

                  

若写成矢量式, 则有

                           u¢ = u-v .                     (1-70)

将式(1-70)对时间求微商, 考虑到v为恒量, 可得

                            a = a¢ .                         (1-71)

这表示,在S系和S'系中观察到同一质点的加速度是相同的。所以, 牛顿第二定律在这两个参考系中的形式, 分别是F = maF ¢ = m¢a¢。可见,数学表达形式是相同的。可以证明,力学中的其他基本规律经伽利略变换后其形式也不变。

       
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