三、惯性力

    在非惯性系中牛顿运动定律不成立, 所以不能直接用牛顿运动定律处理力知识题。若仍然希翼能用牛顿运动定律处理这些问题, 则必须引入一种作用于物体上的惯性力。惯性力不同于前面所说的外力,因为惯性力既没有施力物体,也不存在它的反作用力。

1.        直线加速参考系中的惯性力

       若某参考系相对于惯性系作变速直线运动, 且各坐标轴的方向保持不变, 该参考系就是直线加速参考系。图1-28表示, 固定在车厢里的一个光滑桌面上放着两个滑块A和B。当车厢以加速度a由静止开始作直线运动时, 在地面参考系观察, 滑块A在水平方向上不受任何力的作用, 所以保持静

图1-28

止;滑块B受到挡板向右的推力而随车厢一起作加速度运动, 这与牛顿运动定律的结论相符。但在车厢这个直线加速参考系中观察, 在水平方向上不受力的滑块A以加速度-a 在桌面上运动, 而受到挡板推力作用的滑块B却静止不动, 这显然与牛顿运动定律相违背。为在直线加速参考系中应用牛顿运动定律处理问题, 可引入惯性力

                         F * = -m a .                     (1-72)

上式表示, 在直线加速参考系中, 惯性力的方向与非惯性系相对于惯性系的加速度的方向相反, 大小等于所研究物体的质量与加速度的乘积。在图1-28的例子中, 若以车厢为参考系, 滑块A(质量为mA )和滑块B(质量为mB )都受到惯性力的作用, 它们分别为FA*= -mAa 。当车厢以加速度a向右运动时, 滑块A由于受到向左的惯性力FA*的作用而以加速度a向左运动, 滑块B由于受到向右的推力和向左的惯性力FB* 的共同作用, 合力为零, 所以静止不动。

    2. 匀速转动参考系中的惯性力

图 1-29

    图1-29表示, 长度为R的细绳的一端系一质量为m的小球, 另一端固定于圆盘的中心, 当圆盘以匀角速度w 绕通过盘心并垂直于盘面的竖直轴旋转时, 小球也随圆盘一起转动。若以地面为参考系, 由细绳的张力所提供的向心力T 使小球作圆周运动, 这符合牛顿运动定律, 且

            .      

若以圆盘这个非惯性系为参考系, 小球受到细绳的拉力作用, 却是静止的,这不符合牛顿运动定律。为了应用牛顿运动定律, 可设想小球除了受细绳的张力T 的作用外, 还受到惯性力F *的作用, F *可以表示为

                           F *= mw2 r ,                   (1-73)

式中r是从转轴向质点(在此是小球)所引的有向线段,且与转轴相垂直。由于这种惯性力的方向总是背离轴心的,故得名为惯性离心力。引入惯性离心力后,小球受力满足下面的关系

                           T + F * = 0,                      (1-74)

所以小球保持静止, 牛顿运动定律依然成立。于是大家可以得到这样的结论: 若质点在匀速转动的非惯性系中保持静止, 则作用于该质点的外力与惯性离心力的合力等于零。

    *3. 科里奥利力

图1-30  
   

    上面大家讨论了在匀速转动的非惯性系中保持静止的物体,要受到惯性离心力的作用。现在大家问:如果物体相对于该匀速转动参考系在运动,情况又将如何呢?回答是:这时作用于物体的除了惯性离心力以外,还有另一种惯性力,这种惯性力称为科里奥利力。下面大家就来分析科里奥利力的产生和作用。

    让大家设想,一个带有径向光滑沟槽的圆盘,以匀角速度w绕通过盘心并垂直于盘面的固定竖直轴O转动,处于沟槽中的质量为m的小球以速度u沿沟槽相对于圆盘作匀速运动,如图1-30所示。在圆盘上的观察者看到,经过Dt时间,小球沿沟槽从点A到达点B。而在地面上的观察者却看到,小球同时参与了两个运动:以速度u相对于圆盘的运动和随圆盘的转动。如果只有圆盘的转动,在Dt时间内圆盘转过了Dq 角,小球到达点A1;如果只有小球沿沟槽的运动,小球只能到达点B。根据位移合成的平行四边形定则,取A1 B2 平行于AB,经过Dt时间,小球应该到达点B2 。而实际上小球是沿曲线AB1到达了点B1,即比合成的结果多运行了B2B1的距离。这说明小球的运动在垂直于半径的方向存在一种横向加速度,致使小球在Dt时间内多运行了B2B1的距离。这种加速度之所以存在,显然是由于随着小球离开盘心距离的增加,垂直于半径的横向速度在不断增大的缘故。若把这种加速度表示为at,则有

                        ,

从图1-30中所画的几何关系中可以得到

             .

比较以上两式,可以得到横向加速度at 的大小为

                             at = 2 uw .

只有力的作用才能使物体获得加速度,大家把使小球获得横向加速度at 的力记为Ft,根据牛顿第二定律,其大小为

                             .

Ft的方向,在图1-30中是垂直于半径指向右的。这个力显然是由沟槽壁施加于小球的。

    在圆盘这个匀速转动参考系中的观察者看到,尽管有力Ft的作用,小球仍然沿沟槽作匀速直线运动。这表明,在垂直于小球的运动方向上还受到一个与Ft 相平衡的力,大家把这个力记为Fc,则

                           Ft + F= 0 ,

所以力Fc的大小为

                             .                     (1-75)

Fc的方向与Ft 相反,即垂直于半径指向左。这个力就是科里奥利力。

    可以证明,在一般情况下科里奥利力应由下式表示

                           .                        (1-76)

在上式中,角速度w的方向可以这样确定: 让右手四指沿转动方向围绕转轴而弯曲, 拇指所指的方向就是角速度的方向。进一步讨论请参阅§5-1。式(1-76)表明,科里奥利力Fcuw三者的方向满足右螺旋关系,所以Fc的方向可由右手定则确定,即右手的四指由u的方向经小于p的角转向w的方向, 伸直拇指所指的方向就是科里奥利力Fc的方向。如果uw之间的夹角为j,则科里奥利力Fc的大小可以表示为

                         .

    总之,在匀速转动的非惯性系中分析力知识题时,一般情况下需要同时考虑惯性离心力和科里奥利力。

    在地球这个匀速转动的非惯性系中,科里奥利力的作用也明显地表现出来。赤道附近的空气因受热而上升,并向两极推进,两极附近的冷空气则沿地面向赤道流动。在北半球,从北向南流动的气流所受科里奥利力的方向是从东向西的,这就形成了所谓东北信风。而在南半球则形成东南信风。在北半球地面上运动的物体,所受科里奥利力总是指向前进方向的右侧;在南半球地面上运动的物体,所受科里奥利力总是指向前进方向的左侧。所以北半球的河流,右岸被冲刷得比较利害,常呈陡峭状。单行线铁路的右轨被磨损得比较严重。而在南半球,情况与此相反,河流左岸冲刷得比较利害,铁路左轨磨损得比较严重。   

       
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