三、描述质点运动的坐标系 (§1-3)

    1. 什么是坐标系

    坐标系是指固定在参考系上的数学坐标,它的作用是把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置定量地表示出来。在建立坐标系的问题上应注意以下几点。

    (1)  首先应注意不要把坐标系与参考系混淆了。

    参考系是指为描述物体运动而选作参考标准的物体或物体群,利用它来判断物体是否在运动和如何运动。但是,只有参考系还不能把物体运动时的确切位置表示出来。

    同时还应看到,在描述物体运动的问题中,坐标系必须依附于参考系,离开了参考系,坐标系便失去了意义。在研究物体运动时,若选取不同的参考系,所得的运动规律的数学表达式和结果常常是大相径庭的。而在同一个参考系上建立不同的坐标系(即选取不同的固定点作为坐标原点),对同一物体的运动规律和结果不会产生多大变化,只会影响计算的繁简。

    (2)  在很多情况下,坐标系的建立,还可以帮助大家分析和解决问题。例如,以后大家会经常遇到列出并求解质点运动方程的问题,而质点一般是受多个力作用的,这些力中,哪个是正的,哪个是负的,对于质点的运动是至关重要的,是在列方程时必须明确的。当大家建立了坐标系之后,把这些力投影到坐标轴上来,与坐标轴同方向的为正,与坐标轴反方向的为负,运动方程很容易地就列出来了。

    (3)  在物理学中,坐标系的建立还有更加广泛的意义。物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方, 而矢量方程的求解, 特别是矢量的积分, 必须先化为分量式才可以进行。要将矢量式化为标量式,必须建立坐标系。

    2. 常用的坐标系

    (1) 直角坐标系

    坐标原点O是取在参考系的一固定点上, 过原点O的三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, x轴、y轴和z轴,应满足右螺旋关系, 即当右手四指由x轴方向转向y轴方向时, 伸直的拇指则指向z轴的正方向。

    直角坐标系是描述质点运动最常用的坐标系。

    (2) 平面极坐标系

    在平面问题中只需用二维坐标系就够了。常用的二维坐标系中,有二维直角坐标系和平面极坐标系。利用平面极坐标系研究曲线运动,特别是圆周运动是非常方便的。

    在所研究的平面内,取参考系上一固定点O作为极点, 过极点作一条固定射线OA (Ox)作为极轴,就构成了平面极坐标系。对于平面内任意一点P, 连线OP 称为点P的极径, r 表示;自OAOP所转过的角称为点P的极角,用q 表示。极径和极角,即(r,q )是惟一确定点P位置的两个量,就称为点P的极坐标。

    显然,平面极坐标与二维直角坐标之间的变换关系可以表示为

                     ;

                   .

大家可以利用这种关系,在这两种坐标系之间互相转换。

    在平面极坐标系中,也定义了两个单位矢量,即径向单位矢量和横向单位矢量。径向单位矢量沿极径 r 增大的方向,横向单位矢量与径向单位矢量垂直,沿极角q 增大的方向。

    应该指出的是,径向单位矢量的方向和横向单位矢量的方向都是随所讨论的点的位置的不同而不同的。若质点的位置在随时间变化,则这两个单位矢量的方向也都在随时间变化,正因如此,大家说,它们都是时间的函数,并分别表示为。表面看起来,这使得运动学公式变得繁杂了,而实际上正是由于这一特点,使问题变得更加简明了。   

    (3) 自然坐标系

    自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系。在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点O,质点在任意时刻的位置,都可用它到坐标原点O的轨迹的长度s来表示。

    在自然坐标系中,两个单位矢量是这样定义的:切向单位矢量,沿质点所在点的轨道切线方向;法向单位矢量en,垂直于在同一点的切向单位矢量 而指向曲线的凹侧。可见这两个单位矢量的方向,也是随质点位置的不同而不同的。

    在自然坐标系中表示质点速度,是非常简单的,因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量,而没有法向分量。

    自然坐标系不仅适用于平面运动,也可以用于三维空间的运动。不过在三维情况下,应该引入两个法向单位矢量。

       
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