六、伽利略相对性原理(§1-6)

    1. 伽利略变换

    (1)  坐标变换和变换法则

    若用两个坐标系对同一个物体的运动进行描述,则将该物体的坐标从一个坐标系变换到另一个坐标系的操作,就称为坐标变换。

    在坐标系变换时,不仅物体的空间坐标,而且描述物体的其他物理量的各个分量在两个坐标系之间一般也存在某种确定的关系。如果将描述物体的某个物理量在一个坐标系中的各个分量用它在另一个坐标系中的各个分量表达出来,那么这组表达式就称为该物理量的变换法则,或该物理量的变换定律。伽利略变换就是一种变换法则。

    (2)  伽利略坐标变换

    教材第37页曾经假设了这样两个惯性系,S (O-xyz )系和S¢(O¢-x' y' z' )系,其中x轴与x¢ 轴相重合, y轴与y ¢轴、 z轴与z ¢ 轴分别相平行, 并且S¢系相对于S系以速度v沿x轴作匀速直线运动。显然,从S系到S¢系空间坐标的变换法则可以表示为

                             ,

                             ,

                              .

这就是伽利略坐标变换。

    (3)  经典时空观

    上面所写的伽利略坐标变换,与大家的日常经验相一致,是不难理解的。但是其中包含了对时间和空间的性质所作的两个假定:

    a)  对于一切惯性系,时间是相同的,或者说,时间与参考系的运动状态无关。既然时间是相同的,那么时间间隔在一切惯性系中当然是不变的。所以在上面的伽利略坐标变换中,还应该增加一个时间变换方程,即

                               ,

这样就构成了完整的伽利略变换。

    b)  对于一切惯性系,长度是相同的,或者说,长度与参考系的运动状态无关。

    以上两点就是经典理论对时空的基本见解,称为经典时空观。在人们的日常生活范围内所能感受到的物体的运动速度都远小于光速,所以在狭义相对论提出之前,人们普遍接受这样的时空观念。

    2. 伽利略相对性原理

    伽利略相对性原理, 也称为力学相对性原理,是这样表述的:对于经典力学规律而言, 所有惯性系都是等价的,或者更具体地表述为,在所有惯性系中,经典力学的基本规律具有相同的数学表达形式。对这个原理的理解,还要注意以下几点。

    (1)  伽利略相对性原理是与牛顿运动定律和经典时空观密切地交织在一起的。

    (2)  伽利略变换是伽利略相对性原理的集中体现。要判断经典力学的基本规律在不同惯性系中是否具有相同的数学表达形式,就是考察经典力学的基本规律经伽利略变换后形式是否相同。

    (3)  伽利略相对性原理也称为力学相对性原理,这是因为当时的物理学发展水平还主要局限于力学方面,而不是因为伽利略的观察明确规定了这个原理只适用于力学现象。

    (4)  说“经典力学规律对于所有惯性系都是等价的”,是指经典力学的基本规律在所有惯性系中具有相同的形式,而不是指在不同的惯性系中观察到的物理现象相同。举个例子,在相对于地面作匀速直线运动的车辆上,固定着一个装置,在这个装置里,上方的水一滴一滴滴入下方的容器中。车上的观察者看到,容器处于水滴的正下方静止不动,水滴作自由落体运动。而地面上的观察者却看到,水滴作平抛运动,经过一段时间正好滴入作匀速直线运动的容器中。两个观察者看到的现象是不同的,但是都可以根据经典力学的规律对自己看到的现象做出正确的说明。

    3. 惯性力

    惯性力是为在非惯性系中采用牛顿运动定律分析问题而引进的一种虚拟力。惯性力不是来自物体之间的相互作用,因此没有施力物体,也就不存在反作用力。

    (1)  直线加速参考系中的惯性力

    在直线加速参考系中, 惯性力的方向与非惯性系相对于惯性系的加速度的方向相反, 大小等于所研究物体的质量与加速度的乘积,即可表示为

                             .

    (2)  匀速转动参考系中的惯性力

    惯性离心力是在匀速转动参考系中需要考虑的惯性力中的一种。惯性离心力可以表示为

                            ,

Fi的方向与r的方向相同,r的方向是从转轴向所讨论的质点所引的有向线段,且与转轴相垂直。

    初学的读者常会根据向心力与惯性离心力大小相等、方向相反,而误认为向心力与惯性离心力是一对作用力与反作用力。关于这个问题应该从以下几方面理解。

    a)  首先应该认识到,惯性离心力属于惯性力,是虚拟力,不是来自物体间的相互作用,因此不可能存在反作用力。

    b)  大家已经知道,作用力和反作用力虽然大小相等、方向相反,但是它们是分别作用在不同物体上的。而这里所说的向心力与惯性离心力却是作用在同一个物体上的。作用于同一个物体上的两个力绝对不可能是作用力与反作用力的关系。

    c)  前面大家曾说过,分析向心力的反作用力是没有意义的,更不应该把作用于物体上的惯性离心力认为是向心力的反作用力。

    (3)  科里奥利力

    科里奥利力是在匀速转动参考系中需要考虑的另一种惯性力。这种惯性力只是当物体相对匀速转动参考系运动时才产生。科里奥利力可以表示为

                           ,

如果物体相对于匀速转动参考系的运动速度uw之间的夹角为j,则科里奥利力Fc的大小可以表示为

                          .

    表现科里奥利力作用的常见例证,在教材(上卷)41页中简单叙述了信风的形成、河岸的冲刷以及铁轨的磨损,这里再举出两种重要的现象,供读者参考。

    a)  摆平面的旋转 ¾ 傅科摆

    傅科(J.B.L.Foucault) 1851年用摆的振动平面(摆平面)的旋转证明地球的自转,故得名傅科摆。这个摆架设在巴黎伟人祠的圆屋顶下,摆长67 m,摆锤重28 kg,摆的周期为16 s,摆平面转动一周约为一天半。摆平面的转动是科里奥利力作用于摆锤的结果。当摆锤自东向西摆动时,所受科里奥利力将使它向北偏斜;当摆锤自西向东摆动时,所受科里奥利力将使它向南偏斜,所以从上向下看,摆平面必定绕铅直轴、沿顺时针方向缓慢旋转。

1-7

    b)  落体偏东

    为简便起见,可以考虑物体在赤道平面上从某一高度自由下落。以地面的点O为坐标原点,建立如图1-7所示的坐标系。当物体从点P沿x轴的反方向运动时,将受到科里奥利力Fc的作用,Fc的方向沿y轴方向,即东方,故物体将向东偏斜。

    在一般情况下,在匀速转动参考系中使用牛顿运动定律分析问题时,需同时考虑惯性离心力和科里奥利力。

       
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