[例题分析]

1-8

    例题1-1  在倾角为q 的山坡上安顿一门大炮,大炮相对山坡的仰角为a,所发射炮弹的初速为v0。忽略空气阻力,求炮弹击中目标的位置、最大射程和对应最大射程的仰角。

      取炮口为坐标原点,取x轴沿水平向右、y轴竖直向上,建立如图1-8所示的坐标系。在这样的坐标系中,炮弹x方向作匀速直线运动,在y方向作匀变速直线运动,加速度就是重力加速度g,沿-y方向。

    这个例题与教材(上卷)15页的例题1-2无本质差异,只是炮弹的着地点P不是在水平面上,而是在倾角为q的山坡上。在那里大家曾经用了两个方程式求解,一个是炮弹的轨道方程,另一个是,这后一个方程式实际上是水平线(x)的直线方程。在这里大家仍然可以用这种方法处理,只不过应该将水平线的直线方程用山坡的直线方程来代替。

    炮弹的轨道方程大家在教材(上卷)15页的例题1-2中已经得到,在此应该用代替那里的抛射角q 0,故可表示为

                   .                     (1)

山坡的直线方程为

                           .                          (2)

由以上两式可解得炮弹击中山坡上的目标P的位置,为

                .           (3)

其中

                .

    最大射程应该满足下面的条件:

                              .

由这个方程可以求得对应最大射程的仰角。将x1代入上式,得

     .

于是得到

                   ,

所以

                          ,

由此可解得对应最大射程的仰角,为

                            .                         (4)

    射程R是从坐标原点(即炮口)沿山坡到击中点P的距离OP,不要错误地认为就是x1。所以射程应为

            

            

             .

将对应最大射程的仰角值代入上式,即可得到最大射程,为

                      .                  (5)

1-9

    例题1-2  在水平桌面上有一质量为m0的平板,平板与桌面之间的摩擦系数为m 1;平板上放一质量为m的物体,物体与平板之间的摩擦系数为m 2现以水平力F拉平板,如图1-9所示,试讨论F的大小与平板及物体的运动状况的关系。

      将平板m0和物体m作为研究对象,分别把它们与其他物体分隔开

来,分析它们的受力情况。平板m0受到六个力的作用:重力m0g,竖直向下;桌面对它的支撑力N1,竖直向上;物体m对它的压力N2,竖直向下;拉力F,沿水平向右;桌面对它的摩擦力f1,沿水平向左;物体m对它的摩擦力f2,沿水平向左。这六个力都示意于图1-10(a)中。物体m受到三个力的作用:重力mg,竖直向下;平板对它的支撑力N2¢,竖直向上;平板对它的摩擦力f2¢,沿水平向右。这些力都示意于图1-10(b)中。

1-10

    取桌面上的一固定点O为坐标原点,建立如图1-10(c)所示的坐标系,x轴沿水平向右,y竖直向上。

    设在力F的作用下,平板和物体的加速度的大小分别为a1a2,于是可列出它们的运动方程:

    对于平板

                          ,                    (1)

                          .                    (2)

    对于物体

                           ,                           (3)

                           .                      (4)

由式(2)和式(4)可以求得支撑力N1N2。式(1)和式(3)则表明了加速度与摩擦力及F之间的关系。显然,平板和物体的加速度与摩擦力的大小有关,而摩擦力的大小又与它们的运动状况(静止还是滑动)有关,这些又都与拉力F的大小有关。研究这种关系就是大家下面将要讨论的主要内容。平板和物体的运动状况只能有下面的三种情形之一。

    (1)  F不足以拉动平板,平板和物体都保持静止。显然这时平板和物体的加速度为

                            .

将上式代入式(3)和式(1),分别得到

                              ,

                              .

这表示,物体与平板之间不存在静摩擦力,平板与桌面之间的静摩擦力等于拉力F。根据静摩擦力的规律,应有

                           ,                      (5)

由式(2)和式(4)可得

                           ,

将上式代入式(5),得

                           .                     (6)

这表明,只有当拉力F满足上式时,平板和物体才能保持静止。当拉力F大于时,平板就要被拉动了。

    (2)  F拉动平板,使平板沿桌面滑动,而物体相对于平板静止。显然这时平板的加速度与物体的加速度相等,即

                              .                            (7)

平板与桌面之间为滑动摩擦力,大小为

                        ;                (8)

物体与平板之间为静摩擦力,力的大小应由它们的受力情况确定。将式(7)和式(8)代入式(3)和式(1),得

                        .                  (9)

将式(8)和式(9)代入式(1),就得到物体与平板之间的静摩擦力,其大小为

                         .                  (10)

可见,物体与平板之间的静摩擦力随拉力F而改变。

    物体与平板之间的摩擦力f2是静摩擦力,还应满足

                          ,                   (11)

由以上两式可得拉力F应满足的条件,为

                        .                 (12)

上式表明,当拉力处于的范围时,将出现平板沿桌面滑动,而物体相对于平板静止的状况。当拉力F大于时,平板和物体就进入了下面的运动状况。

    (3)  平板沿桌面滑动,物体又相对于平板滑动。这时平板和物体的加速度不再相等,即

                              .

并且平板与桌面以及物体与平板之间的摩擦力,都是滑动摩擦力,分别为

                       ,                 (13)

                         .                   (14)

将式(14)代入式(3),得

                             ;                          (15)

将式(13)和式(14)代入式(1),得

                    .                    (16)

以上两式表明,物体的加速度为一常量,与拉力F无关。这是因为物体在水平方向上惟一受力就是平板对它的滑动摩擦力,该滑动摩擦力的大小是恒定的。而平板的加速度则决定于拉力F的大小,并随拉力的增加而增大。

    总之,当拉力处于的范围时,平板和物体都保持静止,;当拉力处于的范围时,将出现平板沿桌面滑动,而物体相对于平板静止的状况,,且a1a2都随拉力的增加而增大;当拉力达到

                      

时,a2达到最大值,为

                            ;

当拉力为

                                 

时,平板沿桌面滑动,物体又相对于平板滑动,a1随之增大,并由式(16)表示,而a2维持其最大值不再变化,所以在第三种情况下,平板的加速度a1总大于物体的加速度a2

       
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