[习题解答]

    1-3  如题1-3图所示,汽车从A地出发,向北行驶60 km到达B地,然后向东行驶60 km到达C地,最后向东北行驶50 km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。

      汽车行驶的总路程为

               

    汽车的总位移的大小为

                 Dr =

位移的方向沿东北方向,与方向一致。

         1-4  现有一矢量R是时间t的函数,问在一般情况下是否相等?为什么?

      在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导,表示矢量R的大小随时间的变化率;而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导,再取绝对值,表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变,只是大小变化,那么这两个表示式是相等的。

         1-5  一质点沿直线L运动,其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 rt的单位分别是米和秒。求:

         (1)  第二秒内的平均速度;

         (2)  第三秒末和第四秒末的速度;

         (3)  第三秒末和第四秒末的加速度。

      取直线L的正方向为x轴,以下所求得的速度和加速度,若为正值,表示该速度或加速度沿x轴的正方向,若为负值,表示该速度或加速度沿x轴的反方向。

    (1)  第二秒内的平均速度

                m×s-1

    (2)  第三秒末的速度

    因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的速度,为

                               v3 = - 18  m×s-1

    用同样的方法可以求得第四秒末的速度,为

                               v4 = - 48  m×s-1

    (3)  第三秒末的加速度

    因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的加速度,为

                              a3 = - 24  m×s-2

用同样的方法可以求得第四秒末的加速度,为

                               v4 = - 36  m×s-2 .

         1-6  一质点作直线运动,速度和加速度的大小分别为,试

证明:

         (1)  vdv = ads

         (2)  a为常量时,式v 2 = v 02  + 2a (s -s0 )成立。

   

    (1) 

                        

    (2)  对上式积分,等号左边为

                     ,

等号右边为

                            ,

于是得

                           ,

                           .

         1-7  质点沿直线运动,在时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式:s = (t -1)2 (t -2)st的单位分别是米和秒。求:

         (1)  当质点经过O点时的速度和加速度;

         (2)  当质点的速度为零时它离开O点的距离;

         (3)  当质点的加速度为零时它离开O点的距离;

         (4)  当质点的速度为12 m×s-1 时它的加速度。

      取质点沿x轴运动,取坐标原点为定点O

    (1)  质点经过O点时,即s = 0,由式

                            ,

可以解得

                             t = 1.0 st = 2.0 s .

t = 1 s时,

                 ,     

                  .

t = 2 s时,

                        v = 1.0 m×s -2 a = 4.0 m×s -2 .

    (2)  质点的速度为零,即

                     

上式可化为

                             ,

解得

                           t = 1.0 s    t = 1.7 s .

t = 1 s时,质点正好处于O点,即离开O点的距离为0 m;当t = 5/3 s时,质点离开O点的距离为 -0.15 m

    (3)  质点的加速度为零,即

                      ,

上式可化为

                                ,

解得

                                  t = 1.3 s .

这时离开O点的距离为 -0.074 m

    (4)  质点的速度为12 m×s-1,即

                         ,

由此解得

                            

t值代入加速度的表示式

                          ,

求得的加速度分别为

                       a = 12.4 m×s-2    a = - 12.2 m×s-2 .

         1-8  一质点沿某直线作减速运动,其加速度为a = -C v2C是常量。若t = 0时质点的速度为v0 ,并处于s0 的位置上,求任意时刻t质点的速度和位置。

      t = 0时刻质点的位置为坐标原点O,取水平线为x轴,质点就沿x轴运动。因为是直线运动,矢量可以用带有正负号的标量来表示。

                                 ,

于是有

                             .

两边分别积分,得

                       .

因为t0 = 0,所以上式变为

                             ,

                              ,                           (1)

上式就是任意时刻质点的速度表达式。

    因为

                            dx ¢ = v dt ,

将式(1)代入上式,得

                               ,

两边分别积分,得

                       .

于是,任意时刻质点的位置表达式为

                       .

         1-9  质点作直线运动,初速度为零,初始加速度为a0 ,质点出发后每经过t时间,加速度均匀增加b。求经过时间t后质点的速度和加速度。

      可以把质点运动所沿的直线定为直线L,并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意,质点运动的加速度应该表示为

                              .

由速度公式

                             ,

可以求得经过t时间质点的速度

                          .

    另外,根据位移公式可以求得经过时间t质点的位移,为

                         .

         1-10  质点沿直线y = 2x + 1 运动,某时刻位于x1 = 1.51 m处,经过1.20 s到达x2 = 3.15 m处。求质点在此过程中的平均速度。

      根据定义,平均速度应表示为

                                ,

其中

                             .

由已知条件找出DxDy,就可以求得平均速度

                     .

根据直线方程y = 2x + 1,可求得

                  y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m .

所以

                  

平均速度为

                 .

也可以用下面的方式表示

                    

x轴的夹角为

                     .

         1-11  质点运动的位置与时间的关系为x = 5 + t 2 y = 3 + 5t - t 2 z = 1+ 2t 2, 求第二秒末质点的速度和加速度,其中长度和时间的单位分别是米和秒。

      已知质点运动轨道的参量方程为

                             .

质点任意时刻的速度和加速度分别为

                           .

质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t = 2 s代入上式,就得到质点在第二秒末的速度和加速度,分别为

                        .

         1-12  设质点的位置与时间的关系为x = x(t)y = y(t),在计算质点的速度和加速度时,如果先求出,然后根据求得结果;还可以用另一种方法计算:先算出速度和加速度分量,再合成,得到的结果为v = 。你认为哪一组结果正确?为什么?

      第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确,这是因为在一般情况下

                     

速度和加速度中的r是质点的位置矢量,不仅有大小而且有方向,微分时,既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于,只对位置矢量的大小微分,而没有对位置矢量的方向微分。

         1-13  火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时,站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现,第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0 s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间?

      设火车的加速度为a,每节车厢的长度为l,第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1t1满足

                                .                            (1)

前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2,前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3,并可列出下面两个方程式:

                               ,                           (2)

                               .                           (3)

由式(1)

                               .

将上式代入式(2)和式(3),分别得到

                      ,

                      .

第九节车厢通过观察者身边所需时间为

                    Dt = t3 - t2 =15.00 s - 14.14 s = 0.86 s .            

         1-14  一架开始静止的升降机以加速度1.22 m×s-2 上升,当上升速度达到2.44 m×s-1 时,有一螺帽自升降机的天花板上落下,天花板与升降机的底面相距2.74 m。计算:

         (1)  螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间;

         (2)  螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。

      设螺帽落到升降机地面所需时间为t,在这段时间内螺帽下落的距离为h1,同时升降机上升的距离为h2

    (1)  若以螺帽为研究对象,可取y轴竖直向下,t = 0时,螺帽的速度为v0 = -2.24 m×s-1,加速度为g,则有

                             .                        (1)

    若以升降机为研究对象, 可取y轴竖直向上,t = 0时,升降机的速度为v0 = 2.44 m×s-1,加速度为a = 1.22 m×s-2,这时应有

                              .                         (2)

    显然h = h1 + h2就是升降机的天花板与底面之间的距离,等于2.74 m。于是

 .                (3)                 

由式(3)解得

                           .

    (2)  螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离,就是上面所说的h1,将上面所求得的t代入式(1),可以得到

                        .

         1-15  设火箭引信的燃烧时间为6.0 s,今在与水平面成45°角的方向将火箭发射出去,欲使火箭在弹道的最高点爆炸,问必须以多大的初速度发射火箭?

      以火箭发射点为坐标原点,x轴沿水平向右、y轴沿竖直向上,建立坐标系。设发射火箭的初速度为v0 ,则其竖直向上的分量为

                            ,

竖直向上的速度为

                             .

火箭到达最高点时,vy = 0,由此可以求得初速度为

                .

         1-16  倾斜上抛一小球,抛出时初速度与水平面成60°角,1.00 s后小球仍然斜向上升,但飞行方向与水平面成45°角。试求:

         (1)  小球到达最高点的时间;

         (2)  小球在最高点的速度。

      以抛射点为坐标原点、x轴沿水平向右、y轴沿竖直向上,建立坐标系。

    (1)  为求得小球到达最高点的时间,必须先求出它的初速度v0 。因为v0与水平方向成60°角,所以可列出下面的方程式:

                     

t = 1 s 时,速度v与水平方向成45°,必定有,所以

                           ,

由此解得

                        .

    如果小球到达最高点的时间为t,则有

                           ,

由此解得

                            .

    (2)  小球到达最高点时的速度是沿水平方向的,其大小为

                   .

         1-17  质点作曲线运动,其角速度 w为常量,质点位置的极径与时间的关系可以表示为,其中r0a都是常量。求质点的径向速度和径向加速度,横向速度和横向加速度。

      质点的径向速度为

                            ,

横向速度为

                           .

    质点的径向加速度为

          ,

横向加速度为

                      .

(在计算过程中用到了为常量的条件。)

         1-18  质点沿任意曲线运动, t时刻质点的极坐标为, ,试求此时刻质点的速度、加速度,并写出质点运动的轨道方程,式中abc都是常量。

      t时刻质点的速度为

                   ,

此时刻质点的加速度为

               .                

    题目给出了轨道的参量方程,由参量方程消去参变量t,就可以得到质点运动的轨道方程。由轨道的参量方程的第二式得

                                  ,

将上式代入轨道的参量方程的第一式,得

                                ,

这就是质点运动的轨道方程。  

         1-19  质点沿半径为R的圆周运动,角速度为w = ct,其中c是常量。试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。

      建立如图1-11所示的坐标系,直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合,并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系:

                              ,                            (1)

1-11

式中r = R ,就是圆周的半径。相反的关系可以表示为 

              .        (2)

    t = 0时,质点处于圆周与x轴的交点上。由题已知

                ,

所以

                             .                        (3)

将式(3)代入式(1),得

                  ,      .

于是质点的位置矢量可以表示为

                  

质点的运动速度可以表示为

质点的运动加速度可以表示为

         

                  

    在极坐标中质点的位置矢量可以表示为

                               

质点的速度为

                                

质点的加速度为

                 .

         1-20  质点按照s = bt -的规律沿半径为R的圆周运动,其中s是质点运动的路程,bc是大于零的常量,并且b2 > cR。问当切向加速度与法向加速度大小相等时,质点运动了多少时间?

      质点运动的速率为

                             ,

切向加速度为

                              ,

切向加速度的大小可以写为at = c。法向加速度可以表示为

                           .

切向加速度与法向加速度大小相等,即

                              ,

由此解得

                               .

    讨论:因为

                                v = b - ct ,

所以,当t = 0时,v = b ,当t = b/c时,v = 0 。这表示在0b/c时间内,质点作减速运动。而在t = b/c之后,质点沿反方向作圆周运动,切向加速度为c,速率不断增大。可见质点有两个机会满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。一个机会是在0b/c之间,即

                              ,

为什么t = t1是处于0b/c之间呢?根据已知条件b2 > cR,也就是b >,所以必定有b/c > t1 > 0

    另一个机会是在t = b/c之后,即

                               .

1-12

         1-21  质点从倾角为a =30° 的斜面上的O点被抛出,初速度的方向与水平线的夹角为q = 30° 如图1-12所示,初速度的大小为v0 = 9.8 m×s-1 。若忽略空气的阻力,试求:

         (1)  质点落在斜面上的B点离开O点的距离;

         (2)  t = 1.5 s时,质点的速度、切向加速度和法向加速度。

      建立如图所示的坐标系:以抛射点O为坐标原点,x轴沿水平向右,y轴沿竖直向上。这时质点的抛体运动可以看作为沿x方向的匀速直线运动和沿y方向的匀变速直线运动的合成,并且有

              ,       .

    (1)  B点到O点的距离为l,则B点的坐标可以表示为

                      

如果质点到达B点的时间为t,则可以列出下面的方程式

                                              (1)

                     .                (2)

以上两式联立,可解得

                          .                         (3)

将式(3)代入式(1),得

                      .

    (2)  设在t = 1.5 s 时质点到达C点,此时

                          ,

                        .

所以速度的大小为

                         .

速度与y轴负方向的夹角为

1-13

      .

    现在求C点的切向加速度at和法向加速度an 。由图1-13可见,质点的总加速度就是重力加速度g,方向与vy一致,而atan则是它的两个分矢量。并且由于atv的方向一致,所以atg之间的夹角就是vvy之间的夹角,即b 角。于是可以得到

,

            .

1-14

         1-23  用绳子系一物体,使它在竖直平面内作圆周运动。问物体在什么位置上绳子的张力最大?在什么位置上张力最小?

      设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为q,如图1-14所示。 这时物体受到两个力的作用,即绳子的张力T和重力mg,并且下面的关系成立:

             .

所以可把绳子张力的大小表示为

             .

    由上式可以得到:当物体处于最低点时,q  = p ,张力为最大;当物体处于最高点时,q  = 0 ,张力为最小。

         1-24  质量为m的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下,如图1-15所示。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动,角速度为w。求细绳与竖直方向的夹角j

      小球受到绳子的张力T和重力mg的作用,并且在竖直方向上无加速度,所以有

1-15

                  .          (1)                      

在水平方向上,小球有向心加速度

                   ,

张力T的水平分量提供了小球的向心力,故有

                 .        (2)

由式(1)和式(2)可以解得

                   ,

                   .

         1-25  在光滑的水平桌面上并排放置两个物体AB,它们互相接触,质量分

1-16

别为mA = 2.0 kgmB = 3.0 kg。今用F = 5.0 N的水平力按图1-16所示的方向作用于物体A,并通过物体A作用于物体B。求:

         (1)  两物体的加速度;

         (2)  AB的作用力;

         (3)  BA的作用力。

      x轴沿水平向右。

    (1)  以两物体AB为研究对象,它们在水平方向上受到力F的作用, 所以在该方向上应有

                          ,

              .

    (2)  AB的作用力为F1 ,沿x轴的正方向,物体B沿x方向的加速度为a,可列出下面的方程式:

                       .

    (3)  BA的作用力为F2 ,沿x轴的反方向,物体A沿x方向的加速度为a,可列出下面的方程式:

                               ,

                 .

1-17(a)

         1-26  AB两个物体,质量分别为mA = 100 kgmB = 60 kg,放置于如1-17(a)所示的装置上。如果斜面与物体之间无摩擦,滑轮和绳子的质量都可以忽略,问:

        (1)  物体如何运动?        

         (2)  物体运动的加速度多大?

         (3)  绳子的张力为多大?

      物体A的受力情况如图1-17(b)所示:

       张力T

       重力mAg

      支撑力NA

1-17(b)

1-17(c)

    物体B的受力情况如图1-17(c)所示:

    张力T

    重力mAg

    支撑力NA

    (1)  大家可以假定物体B向下滑,物体A向上滑,加速度为a。若解得a > 0,物体确实按所假定的方向滑动;若解得a < 0,物体实际上是沿与假定方向相反的方向滑动。

    对物体B

                           ,                    (1)

    对物体A

                           .                        (2)

将以上两式相加,得

                   ,

解得

    

所以,系统中的物体A沿斜面向上滑动,物体B沿斜面向下滑动。

    (2)  物体运动的加速度的大小为

                              .

    (3)  由式(2)可以解得

       .

         1-27  在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木块AB,它们的质量分别是mAmB 。今以水平恒力F作用于木块B上,并使它们一起向右运动,如题1-18(a)图所示。求连接体的加速度和绳子的张力。

      木块A受三个力的作用:

1-18(a)

    重力mAg,竖直向下;

    支撑力NA,竖直向上;

    绳子拉力T,水平向右。

木块B共受四个力的作用:

    重力mBg,竖直向下;

    支撑力NB,竖直向上;

1-18(b)

    恒力F,水平向右;

    绳子拉力T ¢,水平向左。

上述各力都表示在图1-18(b)中。

    建立坐标系Oxy,取x轴沿水平向右,y轴沿竖直向上。沿x轴向右的力为正,向左的力为负;沿y轴向上的力为正,向下的力为负。设木块AB沿水平方向的加速度分别为aa¢,于是可以列出下面的运动方程:

    对于木块A

                                 ,

                            

    对于木块B 

                              ,

                              .

另外,

                                  ,

                                  .

由以上方程可解得

                              ,

                              .

绳子的拉力就是绳子的张力。

    如果水平恒力F作用于木块A并拉着AB连接体一起向左运动,这时解得的加速度大小不变,但绳子的张力变为

                              .

可见,由于,则

1-19

         1-28  质量为m的物体放于斜面上,当斜面的倾角为a时,物体刚好匀速下滑。当斜面的倾角增至b 时,让物体从高度为h处由静止下滑,求物体滑到底部所需要的时间。

      物体受力情形如图1-19所示。当斜面倾角为a时,物体刚好匀速下滑,这时物体在运动方向上所受合力为零,即

             ,

             ,

                .

由此解得

                             ,

                                .

    当斜面倾角变为b时,让物体从斜面顶端自由下滑,这时

                           ,

                            ,

                            .

于是可解得

                        .

如果斜面长度l所对应的高度正好是h,物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为t,可列出下面的方程式:

                            .

所以

                  .

    讨论:从上面的结果看,下式必须成立

                           .                       (1)

因为

                            ,                       (2)

将式(2)代入式(1),得

                        ,

                              ,

所以必定有

                                  .

1-20(a)

         1-29  用力F去推一个放置在水平地面上质量为m的物体,如果力与水平面的夹角为a,如图1-20(a)所示,物体与地面的摩擦系数为m,试问:

         (1)  要使物体匀速运动,F应为多大?

         (2)  为什么当a角过大时,无论F多大物体都不能运动?

         (3)  当物体刚好不能运动时,a角的临界值为多大?

      物体受力情形如图1-20(b)所示。

    (1)  物体作匀速运动时所受合力为零,于是有

              ,

1-20(b)

           ,

                .

由以上三式可解得

            .

    (2)  在一般情况下,水平方向上的运动方程可以表示为

,

于是可以解得物体的加速度为

                        .

    可见,推动物体前进的力是,随a的增加而减小;阻碍物体前进的力是摩擦力,随a的增加而增大。所以,当 a值过大时,推动力就不足以克服作用于物体的最大静摩擦力,物体就不能运动。

    (3)  设物体刚好不能运动时的临界角为a0,下面的关系成立:

                   

                     \ .

因为在a等于这个临界角a0时,无论F为多大,物体都刚好不能运动,这就是说,当F沿着这个临界角的方向时,物体运动与否都与F无关。用F除以上式,并令F ® ¥,可得

                           ,

解得

                              .

1-21

         1-32  车厢在地面上作匀加速直线运动,加速度为5.0 m×s-2 。车厢的天花板下用细线悬挂一小球,求小球悬线与竖直方向的夹角。

      设悬挂小球的细线与竖直方向成a角,如图1-21所示。若取地面为参考系,可列出下面的方程:

                   ,

                     .

解得

                

                      \ a = 27°2¢ .   

         1-33  汽车以2.50 m×s-1 的速率经过公路弯道时,发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为1° 。求公路弯道处的半径。

      设小球悬线与竖直方向的夹角为a,可以列出下面的方程式:

                            ,

                            .

于是,可以解得

                   .  

1-22

         1-34  设地球是半径为R、质量为M的均匀球体,自转角速度为w,求重力加速度g的数值与纬度j 的关系。(提示:先求出质量为m的物体处于地面上纬度为j的地方的重量,然后根据重量求出重力加速度与纬度的关系。)

      地面上物体的受力情况如图1-22所示。由图可见

               .

利用余弦定理,得 

           

,

因为w 很小,w4项可以略去,所以上式可化为

            

于是可得

,

也就是

.

上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度j 的关系。

       
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