§2-1  功和功率

    一、功

图2-1

    作用于质点的力与质点沿力的方向所作位移的乘积, 定义为力对质点所作的功。如果质点在恒定力F的作用下, 沿力的方向运动, 从点P到达点Q, 位移为Dr, 如图2-1所示, 那么在此过程中力F对质点所作的功可表示为

             .      (2-1)

若恒定力F的方向与质点的运动方向不一致, 而有一恒定的夹角f, 如图2-2所示, 这时质点将在力F 的一个分力 Fcosf 的作用下运动。当质点从点P到达点Q时, 位移为Dr, 根据式(2-1), 力F 对质点所作的功应为

                          .                 (2-2)

图2-2

功是标量, 即只有大小和正负, 而不具方向性。由上式可见, 若力为零, 或虽有力的作用但质点没有位移, 功都等于零。另外, 若力和位移虽然都不为零, 但力的方向与位移的方向相垂直, 即f = p/2, 力的功也为零。例如, 沿水平方向运动的物体,重力不作功, 作曲线运动的物体, 向心力或法向力不作功。

    由式(2-2)大家可以得到正功和负功的概念。当f < p/2时, DA > 0, 表示力F对质点作正功, 或力对质点作功; 当f > p/2时, DA < 0, 表示力F对质点作负功, 或质点反抗力F而作功。

    在功的表达式中, 两个物理量¾力和位移都是矢量, 用两个矢量的乘积表示一个标量, 可利用矢量运算中的标积的概念。于是式(2-2)可以改写为

                        DA = F × Dr .                      (2-3)

图 2-3

利用式(2-3), 大家可以得到功的一般表达式。在一般情况下, 作用于质点的力F的大小和方向都在随时间变化, 而质点在这个力的作用下沿任意曲线从点P运动到点Q, 如图2-3所示。这时大家可以将总位移Dr分解成很多微小的位移元, 总位移矢量Dr等于所有位移元矢量dr的矢量和, 即

            .           (2-4)

在每个位移元内, 可认为F是恒定的, 所以F所作的元功可以表示为

                       ,

式中φ是drF之间的夹角, ds是与dr 相对应的路程元。当位移元dr 取得无限小时, 它的模与ds相等。在质点从点P到达点Q的过程中, 力F对质点所作的总功则可表示为

                    .         (2-5)

上式的积分, 数学上称为线积分。要计算上面的积分, 必须知道Ff  随路程变化的函数关系。

    在一般情况下F是作用于同一个质点的诸力的合力, 即

                   .

将上式代入功的表达式(2-5), 得

              

                = A1 + A2 + … + An .                         (2-6)

上式表示, 合力对某质点所作的功,等于在同一过程中各分力所作功的代数和。

    在直角坐标系中, 合力F 可以写为

                        F = Fx i + Fy j + Fz k

位移元dr可以表示为

                        dr = dxi + dy j + dz k.

将以上两式同时代入式(2-5), 得

                    ,             (2-7)

此式表示, 合力所作的功等于其直角分量所作功的代数和。

    式(2-6)和式(2-7)都为大家在具体问题中计算功提供了方便。

       
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