图 2-4

    例题 2-1  质量为m的小球系于长度为R的细绳的末端, 细绳的另一端固定在点A, 将小球悬挂在空间。现小球在水平推力F的作用下, 缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成a角的位置。求水平推力F 所作的功(不考虑空气阻力)。

    解  由于小球是缓慢移动的, 所以在它经过的任一位置上, 推力F 、细绳的张力T和小球所受重力mg三个力始终是平衡的, 即

            F + T + mg = 0 .      (1)

图2-4画出了在偏离竖直方向为q角时的情形。取y轴竖直向上, x 轴水平向右, 则可写出上式的分量式

    在x方向有

                ,

    在y方向有

                              ,

两式相除, 整理后可得水平推力F 的大小与偏角q 的关系

                              .                          (2)

    由式(2)可见, 水平推力F 的大小不是恒定的, 而是随偏角的增大而变化, 所以在小球移动的过程中, 是变力作功。设小球在偏离竖直方向q角的位置上作微小位移dl, 变力F所作的元功为

                  ,              

式中ds是位移dl所对应的路程。由竖直位置到偏角为a的过程中, 变力F 所作的总功为

               

    例题 2-2  已知弹簧的劲度系数k = 200 N×m-1 , 若忽略弹簧的质量和摩擦力,求将弹簧压缩10 cm , 弹性力所作的功和外力所作的功。

    解  这也是变力作功的例子。取弹簧未被压缩时自由端的位置为坐标原点, 建

图 2-5

立坐标系, 如图2-5所示。

    弹簧的弹性力可表示为

                           F = -k x i ,      

式中负号表示弹性力的方向与端点位移的方向相反。现将弹簧的自由端压缩到x处, 若继续使自由端作位移dx, 弹性力所作的元功则为

                      dA =F × dx i = -kxi × dxi = -kx dx .              

将弹簧压缩10 cm , 弹性力所作的总功为

                       ,

负号表示在这种情况下弹性力作负功, 也就是外力克服弹簧的弹性力而作功。外力当然作正功, 即

                            .

       
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