§2-2  动能和动能定理

    牛顿第一定律告诉大家, 力的作用是物体运动状态变化的原因;
上节的讨论表明, 当力的作用引起物体位移时, 力要作功。由此大家可以推断, 外力对物体作功与物体运动状态的变更之间必定存在某种联系。探讨这种联系是本节的内容。

    设质点在变力F的作用下, 沿任意曲线由点P运动到点Q, 质点在点P和点Q的速度分别为vP vQ , 如图2-6所示。根据式(2-5), 合力F对质点所作的功应表示为

                     ,               (2-10)

式中m是质点的质量。质点在力F 的作用下获得的加速度a和位移元dr可分别表示为

           .

将以上两式代入式(2-10), 得

             

                           (2-11)

图 2-6

因为

             ,                         

所以

         .               

将上式代入式(2-11), 得

            .       (2-12)

为赋予式(2-12)以更鲜明的物理意义, 大家引入一个物理量, 其定义为, 质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半, 用Ek表示, 即

                          ,                       (2-13)

这个物理量称为质点的动能。这样, 式(2-12)可以改写为

                        ,                         (2-14)

式中EkPEkQ分别是质点在点P和点Q的动能。式(2-14) 所表示的结果是在一般情况下得出的, 所以是一个普遍结论。这个结论可以表述为: 作用于质点的合力所作的功, 等于质点动能的增量。这个结论称为动能定理。

    由动能定理可知, 当质点运动的速率恒定时, 质点的动能不变,合力不作功。对于作直线运动的质点来说, 速率恒定, 表示质点作匀速直线运动。作匀速直线运动的质点所受合力必定为零, 因此也就谈不上合力对质点作功。对于作曲线运动的质点, 速率恒定, 表示质点运动的切向加速度为零, 这意味着合力沿质点运动方向的分量为零。质点运动只存在法向加速度和法向力, 而法向力始终与质点运动方向相垂直, 因而不作功。可见, 由动能定理所得的结论与功的定义是一致的。

    式(2-12)可以帮助大家深入理解正功和负功的意义。A > 0, 表示合力F 对质点作正功, 并有

                      ,

即质点末状态的动能大于初状态的动能, 这说明合力F对质点作功使质点的动能增大。A < 0, 表示合力F对质点作负功, 或质点反抗合力F 而作功, 并有

                      ,                   

即质点末状态的动能小于初状态的动能, 这说明质点以自身动能的减小而对外作功。由此可见, 对于一个运动质点, 合力所作的功(正值或负值), 在数值上等于该质点动能的改变(增大或减小)。动能是质点以自身的运动速率所决定的对外作功的能力, 是质点能量的一种形式。既然合力所作的功在数值上等于能量的改变, 所以说,功是质点能量改变的量度。

       
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