例题 2-3  小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动, 如图2-7所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为hB处时, 速率为多大 ?

图 2-7

    解  过小球的末位置B作水平线, 取小球的初位置A到该水平线的垂足O为坐标原点, 建立如图2-7所示的坐标系O-xy。小球在沿曲面滚动的过程中, 受到两个力的作用:重力mg, 竖直向下;曲面的支撑力N, 处处与曲面垂直并指向上方。这两个力的合力为

                               F = mg + N .                          (1)

设小球的末速率为vB , 则根据动能定理应有

                         ,                     (2)                                                                                                                    

                   .

因为N始终垂直于dr, 所以上式等号左边第二项为零, 于是有

                         .                  (3)

根据式(2-7), 上式等号左边项可以进行分解

                      ,                (4)

重力加速度沿y轴负方向,  gy = -g gx = 0, 所以

                   .

将这个结果代入式(2), 得

                          ,                            (5)

解得末速率为

                           .

这个结果与小球的质量无关, 与曲面弯曲细节无关, 而与竖直下落的情况相一致。

       
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