*四、势能曲线

    系统的势能决定于系统内相互作用的物体之间的相对位置, 因此大家可以把系统的势能表示为物体之间相对位置的函数Ep(x,y,z)。若以Ep为纵坐标, 以相对位置为横坐标, 就得到系统的势能与物体间相对位置的关系曲线, 这种曲线就是势能曲线。图2-11(a)、(b)和(c)分别表示万有引力、重力和弹性力的势能曲线。

    从势能曲线可以直观地看出, 系统的势能随物体间相对位置的变化趋势。由图2-11(a)可以看出, 引力势能 Ep 随物体间距r以双曲线方式变化;图2-11(b)表示重力势能 Ep 随物体的高度 h 以线性方式变化;图2-11(c)表明了弹力势能 Ep 随弹簧的形变量 x 以抛物线方式变化。从势能曲线所反映的系统势能随物体间相对位置的变化趋势, 大家可以直接判断在某段位移上系统的保守力所作功的大小。

图 2-11

    因为势能曲线所反映的系统势能的变化趋势, 归根结蒂代表了系统中保守力随物体间相对位置变化的规律, 所以从势能曲线的形状可以看出系统的保守力在某处的大小、方向以及随距离变化的情形。当系统中两个物体彼此的距离改变了dr, 保守力F作正功, 系统的势能Ep必定降低, 所以有

                          -dEp = F dr ,

                          .                         (2-25)

图 2-12

这表示, 系统中物体间的一维保守力的大小F等于势能Ep对参量r的微商的负值。可以利用这个公式求出引力势能、重力势能和弹力势能所对应的保守力的形式。

    若系统的动能Ek和势能Ep之和(即总能量E)是恒定的, 则可利用势能曲线直观地看出物体运动的范围和动能与势能之间相互转换的情形。例如, 在图2-12所表示的弹簧系统中, 弹簧的一端被固定, 另一端系一物体, 如果物体和弹簧所受摩擦力可以忽略, 那么物体的动能Ek和系统的弹力势能Ep之和E 保持不变。过纵坐标为E的点作水平线, 交势能曲线于PQ两点。点P的横坐标为xP , 点Q的横坐标为xQ 。如果坐标原点O与弹簧的平衡位置相对应, 则物体的运动范围在xP xQ 两点之间。物体处于点xP 和点xQ 时, 势能最大, 等于总能量E, 动能最小, 等于零。而在这两点之间的任何一点上, 动能都不等于零。例如在x 处, 对应于势能曲线上的点C, 点C 的纵坐标表示系统此时的势能Ep, 而E-Ep就是物体此时的动能Ek。当物体到达平衡位O 时, 系统的势能为零, 系统的全部能量都表现为物体的动能, 所以Ek = E。因此, 物体运动不可能越出点xP 和点xQ 之间的范围。假如物体向右运动越过了点xP , 则由势能曲线可见, 系统的势能将大于总能量E, 这显然是不可能的。

       
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