§2-4  机械能守恒定律

    在§2-2中讨论的动能定理表示了一个质点在运动过程中功与能之间的关系。然而任何一个物体都是处于与其他物体相互影响和相互制约之中的, 那么对于由几个相互作用着的质点组成的系统 (称为质点系), 功与能之间的关系又将如何呢?

    一、功能原理

图 2-13

    现在大家要讨论的不是单个质点, 而是由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。在一般情况下, 系统中的每一个质点既受到来自系统以外的力(称为外力)的作用, 也受到系统内部其他质点的力(称为内力)的作用, 示意于图2-13中。作用于第 1 个质点的合外力为F1,内力分别为f12f13、… 、f1n ;作用于第2个质点的合外力为F2,内力分别为f21f23、…、f2n 。其他质点的受力情况依此类推。在这些力的作用下, 系统从初状态P变到末状态Q。如果用 分别表示第i个质点在状态P和状态Q的动能, 根据动能定理, 对于第 1 个质点应有

               ,

对于第 2 个质点应有

               ,

                              …

对于第 n 个质点应有

                ,

这样大家就得到系统中n个质点的n个方程。将这n个方程相加, 就得到整个系统的功与能的关系式

       

      ,                          (2-26)

上式等号左边第一项是外力对系统中n个质点所作功的代数和, 用A表示, 第二项是系统中内力所作功的代数和,用A表示。等号右边第一项是系统内n个质点在Q状态的总动能, 用EkQ表示, 第二项是系统内n个质点在P状态的总动能, 用EkP表示。于是式(2-26)可简化为

                      A + A = EkQ - EkP ,                (2-27)

这个关系式表示, 外力和内力对系统所作功的代数和,等于系统内所有质点的总动能的增量。这个结论称为质点系动能定理。

    根据上节的讨论, 物体之间的相互作用有两类, 即保守力和非保守力。在大家所讨论的问题中, 质点之间的相互作用是系统的内力。所以系统内力所作的功 A实际上应包括两部分, 一部分是保守内力所作的功, 另一部分是非保守内力所作的功, 即

                      A = A保内 + A非保内 ;                      (2-28)

然而, 保守内力所作的功A保内等于系统相应势能增量的负值, 即

                      A保内 = - ( EpQ -EpP ) .                 (2-29)

将式(2-28)和式(2-29)代入式(2-27), 可得

                A + A非保内 -(EpQ - EpP )= EkQ - EkP ,

或改写为

                A + A非保内 = (EkQ +EpQ ) - (EkP + EpP ) ,      (2-30)

式(2-30)右边第一项是系统在状态Q的动能与势能之和, 第二项是系统在状态P的动能与势能之和。系统的动能与势能之和称为系统的机械能。若用E(P)和E(Q) 分别表示系统在状态P和状态Q的机械能, 则式(2-30)可写为

                   A + A非保内 = E(Q) -E(P) ,              (2-31)

上式表明, 在系统从一个状态变化到另一个状态的过程中, 其机械能的增量等于外力所作功和系统的非保守内力所作功的代数和。此规律称为系统的功能原理。

       
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