例题 2-4  求使物体脱离地球引力作用的最小速度。

    解  将物体由地面发射并脱离地球引力作用的最小速度, 称为第二宇宙速度, 也称为地球的逃逸速度。当物体处于地面时, 物体与地球所组成的系统的引力势能为 ,物体至少应具有大小等于引力势能的动能, 才能摆脱地球引力的束缚, 逃逸到地球引力作用范围以外的空间去。当物体到达地球引力作用范围以外的空间时, 付出了自己的全部动能, 用以克服地球引力而作功, 物体与地球组成的系统的引力势能变为零。根据机械能守恒定律, 应有

                             ,

故得

                  .

由此可见, 第二宇宙速度是第一宇宙速度(见第一章例题 1-5 )的 倍。

    大家可以根据上面得到的逃逸速度公式设想一下, 如果在宇宙中存在一个这样的星球, 它的质量足够大, 以致算得的逃逸速度正好等于真空中的光速c, 那么由于一切物体的运动速度都不可能超过真空中的光速, 这个星球上的一切物体都不能摆脱其引力束缚而逃逸, 甚至光子也不能例外, 即使它是宇宙中的最大的发光天体, 大家也看不到它。这种奇妙的天体就是在广义相对论中所预言的“黑洞”。长期以来人们推测,天鹅座X-1的一个子星就是一个黑洞。根据最近的观测研究,天鹅座X-3也被认为是一个黑洞。科学家们又推断银河中心可能存在一个或两个黑洞。因为对银河系中的39个恒星的运动轨迹进行了长期的观测发现,它们都在围绕银心附近的一个区域运动,所以断定在这个区域存在一个质量巨大而又观察不到的天体,这个天体可能就是黑洞。这个黑洞的质量约为太阳的250万倍, 并且正在吞噬着周围的天体。同时也推测,位于室女座星系团内、距离大家约5000多万光年的河外星系M87的中心,也有一个黑洞。2002年11月钱德拉塞卡X射线卫星发现,在离大家大约有3000光年的NGC6240星系中有两个巨大的黑洞正在相互靠拢,预计几亿年后会合并为一个巨大的黑洞。既然连光线都传播不出来, 那么大家是如何发现黑洞的呢? 实际上,在黑洞外围空间由于强大的引力作用, 当物质粒子或光子经过那里的时候, 其运动轨道会发生弯曲, 这种现象称为“引力透镜”效应。大家可以通过引力透镜效应去发现黑洞的存在。在本教材下册“§20-4 致密天体”中,将对黑洞的一些物理性质作简要讨论。

总之,当前无论在实际观测方面还是理论研究方面,黑洞问题都是一个备受关注的课题。

    例题 2-5  求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太阳引力作用的最小速度。

    解  由地球表面发射的物体, 不仅使它摆脱地球引力, 而且使它脱离太阳引力所需要的最小速度, 称为第三宇宙速度。在一般情况下计算第三宇宙速度是相当复杂的, 因为物体在运动过程中, 同时受到地球、太阳和其他天体的引力作用。为简便起见, 大家作如下近似处理:

    (1) 物体由地面发射直至到达地球引力作用范围以外的某点(用C表示)的过程中, 只考虑地球的引力作用, 而忽略太阳和其他天体的引力作用;

    (2) 物体由点C继续运动, 直至脱离太阳引力作用范围的过程中, 只考虑太阳的引力作用, 而忽略地球和其他天体的引力作用;

    (3) 物体到达脱离地球引力作用的点C, 虽然离开地球已足够远, 但对太阳来说, 仍然可以认为它是处于地球绕太阳公转的轨道上。

    物体在点C必须具有一定的动能才能脱离太阳的引力作用。根据机械能守恒定律, 物体在点C相对太阳的速度v2¢ 应满足下式

                          ,

式中m是物体的质量, MS = 1.99×1030 kg是太阳的质量, r0 = 1.50×1011 m 是地球到太阳的平均距离。于是马上求得

                    .

要使物体到达点C时具有 42.1×103 m×s-1 的速度, 可以利用地球公转的速度, 让物体沿地球公转的方向发射。地球公转的速度 可由下式求得

                      .

所以物体到达点C相对于地球的速度应为

      ,

相对地球的动能为

                               ,

这表示在物体脱离地球引力作用之后还必须具有动能 Ek 才能脱离太阳的引力作用, 逃逸出太阳系。

    另外还必须考虑物体在由地面到达点C的过程中克服地球引力所作的功。这一点已在例题2-4中讨论过, 物体至少应具有第二宇宙速度v2 才能脱离地球的引力范围, 相应的动能为

                               .

    所以, 要使在地面发射的物体既要脱离地球引力, 又能脱离太阳引力, 必须具有的最小动能Ek3 应为EkEk2之和, 即

                              .

由此可算得第三宇宙速度

          

    如果发射物体的初速度等于第一宇宙速度, 物体将在围绕地球的圆形轨道上运行。如果发射物体的初速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度, 物体将沿椭圆形轨道绕地球运行, 成为人造地球卫星。如果发射物体的初速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度, 则在地球引力范围以内其运行轨道相对地球为双曲线, 脱离地球引力以后, 其运行轨道为绕太阳的椭圆, 成为太阳的一个行星。当发射物体的初速度达到第三宇宙速度时, 在地球引力范围以内, 其运行轨道相对地球为双曲线, 脱离地球引力以后其运行轨道相对太阳为抛物线, 它将脱离太阳的引力束缚, 飞向太阳系以外的宇宙空间去。

    例题 2-6  一物体以初速v0 = 6.0 m×s-1沿倾角为 a =30°的斜面(见图2-14)向上运动, 物体沿斜面运行了s = 2.0 m后返回。若忽略空气阻力, 试求:

图 2-14

    (1) 斜面与物体之间的摩擦系数μ

    (2) 物体下滑到出发点的速率v

    解  可将物体、斜面和地球看作一个系统。对这个系统而言, 没有外力作功, 但有物体与斜面之间摩擦力这样的非保守内力作功, 所以系统的机械能不守恒。大家可以用功能原理来处理这个问题。

    (1) 从物体以初速v0 开始向上运动(状态P )到在距离出发点2.0 m处停止(状态Q )的过程中, 根据功能原理, 摩擦力所作的功与系统机械能变化的关系可表示为

                             A = E(Q) - E(P) ,            

                        ,                   (1)

上式等号左边是摩擦力作的功。根据图2-14,摩擦力f的大小为

                         ,

f的方向与物体位移dl的方向相反, 所以

                  .         (2)

将式(2)代入式(1), 得

                     ,

可以从中解出物体与斜面之间的摩擦系数

           .

    (2) 由2.0 m处(状态Q)下滑到出发点(状态C ), 功能关系应表示为

                            A = E(C )- E(Q ),

                       ,                   (3)

其中摩擦力所作的功可以表示为

               ,

代入式(3),得

                    ,

从中解出v

        

       
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