三、势能和保守力的概念(§2-3)

    1. 势能

    由物体之间的相互作用和相对位置决定的能量,称为势能。势能是标量,有大、小和正、负之分。

    (1)  相互作用和相对位置总是对两个或两个以上的物体而言的,所以势能总是为相互作用着的诸物体所构成的系统所拥有。

    (2)  对于一定的相互作用形式,势能是物体间相对位置的函数:引力势能是任何物体之间相对位置的函数;重力势能是物体与地球之间相对位置的函数;弹力势能是弹性体各部分之间相对位置的函数。

    (3)  由教材中的式(2-17)(2-20)(2-23)可见,能够被确定的是势能的改变量,而不是势能的绝对值。要确定势能的绝对值,必须选择系统所处的某个状态的势能为零,即选择势能零点。势能零点的选择是任意的,对于不同的势能零点,同一状态的势能值不同,而势能的增量(EpQ - EpP )却不因势能零点的不同而改变。

    (4)  对于一个系统,其内部物体(视为质点)间的相互作用,称为内力,而系统以外的物体对系统内物体的作用,称为外力。既然势能是由系统内物体间的相互作用决定的,所以势能必定与内力相对应。

    (5)  于是就产生了另一个问题,即是否所有的内力都对应一定的势能?回答是,只有保守内力才与一定形式的势能相对应,非保守内力(或称耗散内力)不存在对应的势能。

    2. 保守力

    (1)  具有下面性质的力才属于保守力:

    这种力所作的功只与受力物体的始、末位置有关,而与所经历的路径无关,或者说受力物体沿任意闭合路径运行一周,该力所作的功恒等于零,即可表示为

                          .

万有引力、重力和弹性力都具有这种性质,因而都属于保守力;摩擦力、阻力和爆破力都不具有这种性质,因而属于非保守力或耗散力。

    (2)  保守内力所作的功与系统的势能变化之间存在一种普遍关系,这种普遍关系是,保守内力所作的功等于势能增量的负值,即

                       ,        

这一普遍关系不妨称为势能定理,与动能定理相对应,形式上也相似。

    (3)  为什么只有保守内力才与一定形式的势能相对应,而非保守内力却不存在对应的势能?教材(上卷)58页对此作了明确的阐述。

    因为保守内力所作的功只决定于受力物体的始、末位置,而与所经历的路径无关,于是大家得到了上述势能定理。由势能定理可以清楚地看到,只要大家选择力场中某点(例如Q)为势能零点,那么当物体在此保守力的作用下从P点到达Q点,保守力所作的功APQ就等于P点的势能。

    但是对于非保守力来说情况就不同了。非保守力对物体所作的功不仅与物体的始、末位置有关, 而且还与物体运行的路径有关。如果大家也仿照对保守力场的做法,选择力场中的Q点为势能零点,则当物体在此非保守力的作用下从P点到达Q点时,沿不同的路径所作的功也不同,因此大家无法用惟一数值的功来确定该力场中P点的势能。所以不可能在非保守力场中用与在保守力场中同样的做法引入势能。

    3. 势能曲线

    系统的势能与物体间相对位置的关系曲线,就是势能曲线。这种曲线有如下功能:

    (1)  从势能曲线可以直接看出系统的势能随物体间相对位置的变化趋势:引力势能为双曲线,重力势能为直线,弹力势能为抛物线;

    (2)  从势能曲线可以直接判断物体在某段相对位移上系统保守力所作功的大小,因为保守力所作功的大小等于该位移所对应的势能的变化。

    (3)  从势能曲线可以大致估计在某相对位置时的作用力,因为势能曲线上任意一点切线的斜率的负值代表了在该相对位置时的作用力。斜率为零处表示作用力为零。

    (4)  从势能曲线可以判断系统平衡的稳定性。以弹力势能曲线为例:当系统受扰动使x > 0,该处斜率为正,则斜率的负值小于零,即f < 0,表示力指向平衡位置;当系统受扰动使x < 0,该处斜率为负,则斜率的负值大于零,即f  > 0,表示力仍然指向平衡位置。所以点O是系统的稳定平衡位置。

    (5)  从势能曲线可以直观地看出物体运动的范围和动能与势能之间相互转换的情形。关于这一点教材中有较为具体的讨论,此不赘述。

       
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