[例题分析]

    例题  一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定,另一端悬挂一个质量为m的小球,这时平衡位置在点A,如图2-1所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸Dx并达到点B的位置,由静止释放后小球向上运动,试求小球第一次经过点A时的速率。

      此例题就是习题2-17。若把小球、弹簧和地球看作为一个系统,则小球所受弹性力和重力都是保守内力。系统不受任何外力作用,也不存在非保守内力,所以在小球的运动过程中机械能是守恒的。

    另外大家可以把小球处于点B时的位置取作系统的重力势能零点,而系统的弹力势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态,即图中所画的点O。设由于小球所受重力的作用,弹簧伸长了Dx0,而到达了点A。则根据状态B和状态A的机械能守恒,应有

             ,          (1) 

2-1

式中v是小球到达点A时的速率。因为小球处于点A时所受的重力mg和弹性力k(Dx0)相平衡,故有

                  .             (2)

将式(2)代入式(1),即可求得小球到达点A时的速率

                   .

    有的读者认为,既然势能零点可以任意选择,那么弹力势能的零点若选在点A不是更简便吗?

    如果将弹力势能零点选择在点A,则式(1)成为下面的形式:

                    .

由此可以解得

                       .

这显然与上面的结果不一致。哪个结果正确呢?难道弹力势能零点不能任意选择吗?

    势能零点的确是可以任意选择的,并且如若不指明势能零点,势能的值就没有意义。读者一定还记得,大家在讨论弹力势能时,得到弹力势能表达式Ep = k x2 / 2的前提是选择物体处于平衡位置(即弹簧无形变)时系统的弹力势能为零。这就是说,在使用公式Ep = k x2 / 2时,势能零点就已经选定在平衡位置O点了。若再选择A点为势能零点,岂不是在一个问题中同时选择了两个弹力势能零点了吗?这显然是不能允许的。所以,在这里读者必须注意,在使用公式Ep = k x2 / 2时,势能零点必须选在弹簧无形变时的平衡位置。

    读者一定会想到,既然公式Ep = k x2 / 2是在选择了弹簧无形变状态为势能零点的情况下得到的,那么公式Ep = mgh是否也是在选择了某点为势能零点的情况下得到的?显然是这样的,把质量为m的物体处于高度为h处的势能写为Ep = mgh,实际上已经选定了势能零点在h = 0处。那么,在大家的问题中h = 0的位置在什么地方呢?显然,大家可以把B点认为是h = 0的位置,这时A点的高度就是h = Dx (在上面的求解过程中正是这样选择的),也可以把A点认为是h = 0的位置,这时B点的高度就是h = - Dx。这两种选择都满足:当h = 0时,Ep = 0

    由上面的分析可以看到,公式Ep = k x2 / 2和公式Ep = mgh中的xh具有不同的涵义。h是物体所处的高度,只有相对意义,而x代表弹簧的形变,具有绝对意义。

       
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