§3-1  动量和动量定理

    在经典力学中物体的质量是恒定的, 所以可以将牛顿第二定律作下面的演化

                    . 大家把质点的质量m与它的速度v的乘积mv 定义为该质点的动量,并用p表示, 可写为

                            p = mv .                       (3-1)

以后大家会越来越清楚地认识到,动量是表征物体运动状态的最主要、最基本的物理量。引入动量之后,牛顿第二定律可以表示为

                              .                          (3-2)

式(3-2)表示, 在任一瞬间,质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力, 其方向与合力的方向一致。如果把动量作为描述物体运动的最基本的物理量,那么上式就可以看作是力的定义式,它表示,力是使物体动量改变的原因,或者说,引起物体动量改变的就是力。物体的动量改变了,就是其运动状态发生了变化。

    动量是矢量, 它的方向与质点运动速度的方向一致。在国际单位制中, 动量的单位是kg×m×s-1 (千克×米/秒)。

    在经典力学范围内, 与牛顿第二定律的常用形式F = ma是一致的。但当物体的运动速率达到可与光速相比拟时, 根据相对论原理, 其质量会显著增大, 后一种形式不再正确, 而式 却仍然有效。

    由式(3-2)可以得出

                           F d t = d p .  

此式表示, 力F在dt时间内的积累效应等于质点动量的增量。如果在t0t的时间内质点的动量从p0变为p, 那么力在这段时间内的积累效应为

                     .                (3-3)

大家把 称为力F在时间t0t的冲量, 用I表示, 即

                          .                        (3-4)

由式(3-3)和式(3-4)得

                     .                  (3-5)

上式表示,
在运动过程中, 作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结论称为动量定理。

    虽然动量定理与牛顿第二定律一样, 都反映了质点运动状态的变化与力的作用的关系, 但是它们是有差别的, 牛顿第二定律所表示的是在力的作用下质点动量的瞬时变化规律, 而动量定理则表示在力的作用下质点动量的持续变化情形, 即在一段时间内力对质点作用的积累效果。

    动量定理在处理像碰撞和冲击一类问题时很方便。因为在这类问题中, 作用于物体上的力是作用时间极短、数值很大而且变化很快的一种力, 称为冲力, 这种力的大小与时间的关系大致可以表示为图3-1的情形。要确定冲力随时间变化的细节是困难的, 因此无法或很难应用牛顿第二定律去处理这类问题。但大家可以从实验中测定物体在碰撞或冲击前后的动量, 借助于动量定理来确定物体所受的冲量。而且还可以根据测定冲力作用于物体的时间, 来估计冲力的平均值。尽管这个平均值不是冲力的确切描述, 但在不少实际问题中, 这样估计就足够了。于是可以得到下面的关系

                       ,                 (3-6)

其中平均冲力  定义为

                          .                     (3-7)

图 3-1

    在动量定理中引入的冲量是矢量, 是质点在力的持续作用下在一段时间内的积累效应的量度。其量值取决于合力的大小及其持续作用时间的长短这两个因素。如果F是恒力, 式(3-4)的积分容易计算,为

                         ,                    (3-8)

这表示, 恒力冲量的方向与恒力的方向一致。如果力F 是方向不变而大小在改变的力, 那么冲量I的方向仍与力F 的方向一致。如果力F 不论大小还是方向都在随时间变化, 这时冲量I 的方向不能由某一瞬间F 的方向来决定, 而必须根据质点动量增量的方向确定。在这种情况下, 式(3-4)的积分表示无限多个无限小的矢量的叠加, 一般情况下直接进行矢量叠加的计算是困难的。通常的方法是投影到一定的坐标轴上, 把矢量叠加变成代数求和。在直角坐标系中式(3-4)的分量式为

             ,         (3-9)

分别积分, 求出 , 从而得出I

    如果有n个力F1F2、 …、Fn 同时作用于一个质点上, 其合力为

                     F = F1 + F2 + … + Fn ,   

那么该质点所受冲量为

            

               = I1 + I2 + … + In ,                                                   (3-10)        

式中I1I2 、… 、In 分别表示各分力在t0t时间内对质点的冲量。式(3-10)表明, 合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时间内冲量的矢量和。

    因为动量和冲量都是矢量, 式(3-5)是矢量方程。在处理具体问题时, 常使用它的分量式

                                           (3-11)

上式表明, 冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量分量的增量, 冲量在任一方向的分量只能改变自己方向的动量分量, 而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。由此大家可以得到, 如果作用于质点的冲量在某个方向上的分量等于零,尽管质点的总动量在改变, 但在这个方向的动量分量却保持不变。

       
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