§3-2  质点系动量定理和质心运动定理

    前面讨论的动量定理是描述一个质点在运动中动量的变化规律。而在很多实际情形中, 所涉及的是彼此相互作用的多个质点的运动, 即质点系的运动问题。那么一个质点系在力的作用下动量的变化遵从怎样的规律呢?

    一、质点系动量定理

    一个由n个质点组成的质点系, 在一般情况下每个质点既受外力作用, 也受内力作用。假设第1个质点在初始时刻t0的动量为m1v10 , 所受来自系统以外的合外力为F1, 同时也受到系统内其他质点的作用力, 分别为f12f13 、…、f1n, 到时刻t, 动量变为m1v1; 第2个质点在初始时刻t0的动量为m2v20, 所受来自系统以外的合外力为F2, 同时也受到系统内其他质点的作用力, 分别为f21f23、… 、f2n,到时刻t, 动量变为m2v2。系统内其他质点的情形依此类推。对系统内的每一个质点分别列出其运动方程

                    

将以上n个方程相加, 得到

                  ,             (3-12)

式中求和号 表示, ij都从1到n变化所得的各项相加, 但除去i=j 的那些项, 即除去f11f22 、…  、fnn 各项。根据牛顿第三定律, 作用力fij 与反作用力fji 大小相等、方向相反, 所以

                     .

由此可见, 式(3-12)中等号左边的第二项实际上等于零, 故有

                       .                (3-13)

如果外力的作用时间从t0t,则可对上式积分,得

                   ,            (3-14)

式中 分别表示质点系在初状态和末状态的总动量。式(3-14)表明, 在一段时间内, 作用于质点系的外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量。这个结论称为质点系动量定理,式(3-13)可以称作质点系动量定理的微分形式。

    质点系动量定理还向大家表达了这样一个事实: 系统总动量随时间的变化完全是外力作用的结果, 系统的内力不会引起系统总动量的改变。不论是万有引力、弹性力还是摩擦力, 只要它们是作为内力出现的, 都不会改变质点系的总动量。

    式(3-14)是矢量式, 在处理具体问题时, 常使用其分量形式

                             (3-15)

上式表明, 外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。

       
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