§3-3  动量守恒定律

    如果质点系所受外力的矢量和为零, 即

                         ,                       (3-21)

则由质点系动量定理的微分形式(3-13)可以得到

                      恒矢量.                    (3-22)

此式表示, 在外力的矢量和为零的情况下, 质点系的总动量不随时间变化。这一结论称为动量守恒定律。它是物理学中另一个具有最大普遍意义的规律, 迄今为止, 还未发现任何例外。

    在理解动量守恒定律时, 一定要注意动量的矢量性。大家所说的质点系的总动量, 是指系统中所有质点动量的矢量和。系统的总动量保持不变, 既不是指系统中每个质点动量的大小保持不变, 更不是指系统中各质点动量大小之和保持不变。

    在处理具体问题时通常使用式(3-22)在直角坐标系的分量式

                             (3-23)

由上式可以看出, 有时虽然质点系所受外力的矢量和不等于零, 但可以适当选择坐标轴的取向, 使∑Fx 、∑Fy 和∑Fz 中有一个或两个等于零, 那么在这一个或两个方向上, 质点系总动量的分量保持恒定, 即动量守恒定律成立, 从而使问题简化。

    动量守恒定律成立的条件是系统所受外力的矢量和等于零, 不过在一些具体问题中, 这个条件往往得不到严格满足。如果系统中质点间的相互作用(内力)比它们所受的外力大得多, 以至系统中各质点动量的变化主要是内力引起的, 这时可使用动量守恒定律对问题作近似处理。举个例子, 当两个钢球在空间相碰时, 两球的相互撞击力比起空气的阻力、摩擦力甚至重力都大得多, 因而可近似认为满足动量守恒定律成立的条件。

    应用动量守恒定律时, 只要求作用于系统的外力矢量和等于零, 而不必知道系统内部质点间相互作用的细节。这是应用这个定律比应用牛顿运动定律的方便之处。

    将动量守恒定律应用于力学以外的领域, 不仅导致一系列重大发现, 而且使定律自身的概念得以发展和完善。

    例如,原子核在 b衰变中,放射出一个电子后自身转变为一个新原子核。如果衰变前原子核是静止的,根据动量守恒定律,新原子核必定在射出电子相反方向上反冲,以使衰变后总动量为零。但在云室照片上发现,两者的径迹不在一条直线上。是动量守恒定律不适用于微观粒子呢,还是有什么别的原因? 泡利为说明这种现象,于1930年提出中微子存在的假说(详见§19-7),即在 b衰变中除了放射出电子以外还产生一个中微子,它与新原子核和电子共同保证了动量守恒定律的成立。二十六年后终于在实验中找到了中微子, 动量守恒定律也经受了一次重大的考验。

    如果只考虑电磁相互作用, 两个运动带电粒子的总动量并不守恒。若把动量的概念推广到电磁场, 即认为电磁场具有动量, 运动带电粒子在运动时要激发电磁场, 当把这部分由电磁场所携带的动量考虑在内, 运动带电粒子的总动量仍然是守恒的。动量的概念也已扩展到了光学领域。从光的电磁本性看, 光属于电磁波, 电磁波就是电磁场的交替激发和传播, 电磁场具有动量, 光自然具有动量。从光的粒子性看, 光是光子流, 每个光子都具有确定的动量。所以, 涉及光的过程都必定伴随动量的传递, 并服从动量守恒定律。这些概念将在本书的§12-9作专门讨论。

图 3-4

    例题3-3  如图3-4所示, 大炮在发射时炮身会发生反冲现象。设炮身的仰角为θ, 炮弹和炮身的质量分别为mM, 炮弹在离开炮口时的速率为v, 若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力, 求炮身的反冲速度。

    解  忽略了炮身与地面的摩擦力, 在水平方向上可以运用动量守恒定律。设x 轴沿水平向右。炮弹发射前系统的总动量为零。发射时,炮弹以速度v 沿与x 轴成θ角的方向离开炮口, 炮身则以速度v¢ 沿x轴负方向运动,应有

                           

所以炮身的反冲速度为

                               .

    例题 3-4  一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块, 已知其中两块在水平面内各以80 m×s-1 和60 m×s-1 的速率沿互相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。

图 3-5

    解  设碎块的质量都为m, 速度分别为v1v2v3,根据题意, v1v2, 并处于水平面内, 取水平面为xy平面, 并设v1v2分别沿 x轴负方向和y轴负方向, 如图3-5所示。

    将整个装置视为一个系统, 在炸裂过程中内力远大于外力, 可以用动量守恒定律来处理。炸裂前动量为零, 炸裂后总动量也必定为零, 即

                         .                                                        

因为三碎块质量相等, 所以

                            .                          (1)

题意已示明, 两个碎块的动量都处于xy平面内, 第三个碎块的动量也必定处于xy 平面内, 设其方向与x 轴成q 角, 于是可将式(1)写成两个分量方程

                            ,                        (2)

                             .                             (3)

两式联立可解得

                          

q值代入式(2), 求得

                   .

       
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