*§3-5  运载火箭的运动

    宇宙飞船、航天飞机、人造卫星以及导弹的发射, 动力都是由运载火箭产生的。运载火箭的发射反映了当代科技水平的综合技术, 但就其动力学原理而言, 仍是动量定理和动量守恒定律。这一节大家将作为动量守恒定律的重要应用,简要地分析运载火箭的运行原理。

图 3-8

    运载火箭在运行时, 自身携带的燃料(液态氢)在氧化剂(液态氧)的作用下急剧燃烧, 生成炽热气体并以高速向后喷射, 致使火箭主体获得向前的动量。大家将火箭的总质量M分成两部分, 一部分是火箭主体质量M-dm ,  另一部分则是行将被喷射的物质质量dm。在t时刻, dm尚未被喷出, 火箭总质量相对于地面的速度为v,动量为Mv;在t+dt时刻, dm被以相对于火箭的速度(称为喷射速度) u喷出, 火箭主体则以 v+dv的速度相对于地面运行, 这些情形示意于图3-8中。如果将火箭主体和喷射物质视为一个系统, 并忽略作用于系统的仅有外力,即火箭所受重力Mg, 那么根据动量守恒定律,在z方向的分量式应有

            .

由于dm的喷射,火箭总质量M在减少,其减少量为-dM,故有dm = -dM。于是上式变为

     

积分得

                  .                          

所以,火箭主体在其质量从M0变到M时所达到的速度为

                          ,                     (3-34)

这就是火箭主体速度的近似公式。

   

上式表明, 火箭所能达到的速度决定于喷射速度 和质量比(M0 / M )的自然对数。化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值为 , 而实际能达到的只是此值的一半左右。所以提高火箭速度的潜力在于提高质量比(M0 / M )。

    在质量比(M0 / M )中, M0是火箭尚未发射时的质量, 包括负载、火箭外壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量, M是负载及外壳等结构的质量。粗略计算表明, 要使火箭主体超过第一宇宙速度( 7.9 km×s-1 ),以便用以发射人造地球卫星, 质量比要高达55左右。要做到这样大的质量比在技术上是困难的, 一般采用多级火箭来实现。多级火箭在运行时先让第一级火箭发动, 推动火箭主体前进;当第一级火箭燃料耗尽时让其自行脱落, 第二级火箭开始工作, 继续推动火箭主体前进;依次进行下去,直至最后一级火箭的燃料耗尽并脱落, 剩余的部分则是有效负载( 如卫星星体 ), 就能达到相当大的速度。

    例题 3-6  有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火箭的质量之比为N3 。若取N1 = N2 = N3 = 7.4, 各级火箭的喷射速度都为 , 不计重力影响, 求该火箭最后达到的速度。

    解  根据火箭速度公式, 在第一级火箭燃料耗尽时达到的速度为

                             ,

在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的速度达到了v2 , 由公式(3-34)应有

                           ,                        

在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后达到的速度为v, 应满足

                            ,

以上三式相加, 即得

                

可见,此值大于第二宇宙速度而略小于第三宇宙速度。

       
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