[例题分析]

3-1

    例题3-1  在如图3-1所示的装置中,一不可伸长的轻绳跨过定滑轮,两端系有质量分别为mM ( > m )的物体。开始时M静止在地面上,绳子松弛,当物体m自由下落h的距离后,绳子才被拉紧。滑轮的质量和摩擦力都可忽略不计,求绳子刚被拉紧时物体的运动速率以及物体M所能达到的最大高度。

      取地面上一点为坐标原点O,取z轴竖直向上,建立如图3-1所示的坐标系。当物体m自由下落h的距离时,它就具有了速度

                  ,

因而也就具有了动量-mu,由于绳子的张力T所产生的冲量,使它的动量变为-mv。与此同时,由于绳子的张力T ¢所产生的冲量,使物体M的动量从0变为Mv。这样物体Mm以相同的速率v沿相反的方向运动。由于绳子是轻绳,质量可以忽略,所以滑轮两侧绳子的张力相等,即

                              .

如果张力作用的时间为Dt,根据动量定理,可以列出下面的方程式:

                         ,

                            .

由以上两式可以解得绳子刚被拉紧时两个物体的运动速率,为

                        .

    物体M所能达到的最大高度zm,可以利用能量关系求解。大家将两个物体和地球划作一个系统,对于这个系统而言,不存在外力的作用。绳子的张力作为非保守内力,在绳子被拉紧的过程中要作功。在绳子被拉紧的Dt 时间内,物体m会向下作微小位移,T作负功;在同一时间内,物体M会向上作微小位移,T ¢作正功。由于绳子是不可伸长的,两个物体所作的位移的大小是相等的,所以两功之代数和为零。系统的机械能是守恒的。

    取地面为重力势能零点。当绳子被拉紧后两个物体以相同速率开始运动时为初状态,这时物体M的势能为零,动能为,设此时物体m所处高度为z0,其势能为,动能为。所以在初状态系统的总能量为

                      ;

当物体M达到最大高度zm时为末状态,显然此时两个物体都静止不动了,两者的动能都为零,物体M的势能为,物体m的势能为。所以末状态的总能量为

                        .

由于机械能守恒,故有

                              ,

               .

从中解出物体M达到的最大高度zm,得

                      .

    例题3-2  柔软且质量均匀分布的绳子长度为L,质量为M。开始时手拿其上端竖直悬提着,并使其下端刚刚与桌面相接触,如图3-2(a)所示。现将绳子由静止释放,试求当绳子下落到所剩长度为l时,绳子作用于桌面上的力。

3-2

     绳子在下落过程中对桌面的作用力F应是两部分力的叠加,一部分是已经落到桌面的那部分绳子对桌面的压力,此压力显然等于这部分绳子的重力mg。另一部分是正在与桌面相接触的绳段与桌面撞击所给与桌面的撞击力f

    取初始时刻绳子下端与桌面的接触点为坐标原点O,取z轴竖直向上,建立如图3-2(b)所示的坐标系。大家将绳子在下落过程中对桌面的作用力表示

               .

式中,Ff本身带有符号,所以可当为正值处理,如果解出为负值,表示它们的实际方向与z轴的方向相反;m表示已经落到桌面上的绳子的质量,应为

         .

    显然,只要求得正在与桌面相接触的绳段与桌面撞击所给与桌面的撞击力f ,此题的结果就得出来了。

    现在让大家求f。由于绳子的质量均匀,所以绳子的单位长度质量为l = M / L。在绳子的下落过程中,当下落到所剩长度为l时,在dt时间内有绳子元段d l以速度v下落并与桌面相碰撞,其质量为l d l,根据自由落体的性质,绳子下落的速度v应为

                         .                     (1)

负号表示下落速度的方向与z轴的取向相反。该元段在对桌面撞击时共受两个力的作用,一个是桌面对它的撞击力f  ¢,竖直向上,这个力就是f的反作用力,另一个是绳段所受的重力gldl,竖直向下。在这两个力的作用下,该元段的动量由-vldl 变为0。根据动量定理可列出下面的方程式:

                      .

略去二级小量gldldt,上式可化为

                         .                     (2)

                       .                 (3)

绳子对桌面的撞击力为

                        ,

故得

             

                .

负号表示绳子对桌面的作用力的方向与坐标轴的取向相反。由上式可以得到如下结论:在绳子下落过程中,绳子对桌面的作用力等于已经落在桌面上的绳子重力的3倍;当绳子的上端落到桌面时,绳子对桌面的作用力等于绳子总重力的3倍。

    此题也可以用质心运动定理求解。把全部绳子作为大家要研究的质点系,任意时刻质心的位置为

                       .

质心的加速度为

         .    (4)

在得到上式时用到了下面两个关系,第一个关系

                         ,

是绳子下落的速度。另一个关系

                             ,

是绳子下落的加速度。

    为了对绳子的整体运用质心运动定理,还需考虑绳子的受力。在下落过程中,作为质点系的全部绳子所受的外力有两个,一个是重力Mg,竖直向下,另一个是桌面对它的作用力F ¢,竖直向上,此力正是所求力F的反作用力。于是可列出下面的方程式:

                            

将式(4)代入上式,得

                           .

绳子对桌面的作用力为

                        .

与上一种方法所得结果一致。

       
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