二、力对轴的力矩

    大家日常所见到的转动很多是绕某转轴进行的, 如门绕门轴的转动, 风扇叶片绕转轴的转动, 螺帽绕螺杆的转动等。在这种情况下, 对转动起作用的力矩只是力矩矢量沿转轴的分量, 若把转轴定为z轴, 则是力矩沿z轴的分量Mz

    在以参考点O为原点的直角坐标系中, 将力矩矢量M表示为

                     M = Mx i + My j + Mz k ,  

其中MxMyMz分别是力矩矢量M沿x轴、y轴和z轴的分量。在同一个坐标系中,质点P的位置矢量r和作用力F可分别表示为

                       r = x i + y j + z k ,

                     F = Fx i + Fy j + Fz k .

将以上两式代入式(4-1), 即可得到

         

写成分量式, 即

                                           (4-4)

图4-2

    力矩矢量沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。力Fz轴的力矩Mz 可以根据式(4-4)计算。下面大家先将矢量rF投影到xy 平面上,然后由式(4-4)计算Mz 。 

    设rFxy 平面上的分矢量分别为Rf, RfOx轴的夹角分别为a b Rf 之间的夹角为f, 如图4-2所示。下面的几何关系成立

                                      

将此关系代入式(4-4)的Mz式中, 得

      ,

这就是对z轴的力矩表达式, 其中R sin f就是通常所说的力臂R^

    上面大家是将质点P的位置矢量r和作用力F投影到xy平面上来计算对z轴的力矩的。显然, 上述计算可以在任一个垂直于z轴(取为转轴)的平面中进行, 因为在任一个这样的平面上rF的投影Rf, 以及Rf之间的夹角f都是相同的。这表明, 对轴的力矩与参考点O在轴上的位置无关, 也就是说, 无论参考点O处于轴的什么位置上,只要F是确定的,F对该轴的力矩总保持不变。

    如果知道力矩矢量的大小和它与z轴之间的夹角g (见图4-1), 那么力对z轴的力矩也可按下式求得

                   .

       
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