例题 4-1  行星运动的开普勒第二定律认为, 对于任一行星, 由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。

图 4-5

    解  在第一章的例题1-6中大家曾经用万有引力定律证明过这个结论。从历史上说, 开普勒三定律的发现要早于万有引力定律。开普勒三定律只是推断太阳对行星作用力的性质, 而牛顿万有引力定律则是从更广泛的意义上表明了物体之间普遍存在的万有引力相互作用。

    将行星看为质点, 在d t时间内以速度v完成的位移为v d t, 矢径r在dt时间内扫过的面积为dS,如图4-5中阴影所示。显然

                            ,

根据质点角动量的定义

                           ,                      

于是有

                              ,

矢径在单位时间内扫过的面积

                               ,

称为掠面速度。万有引力属于有心力, 所以行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的, 即l = 恒矢量, 故有

                             恒量.

行星对太阳所在点O的角动量守恒, 不仅角动量的大小不随时间变化, 即掠面速度恒定, 而且角动量的方向也是不随时间变化的, 即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。

    开普勒第一定律告诉大家, 行星的轨道是椭圆, 太阳处于椭圆的一个焦点上。为了保证掠面速度恒定, 行星在离太阳远时的运行速度比离太阳近时要小些。对地球北半球来说, 在夏季, 地球处于远日点附近; 在冬季, 地球处于近日点附近。 所以,夏季公转速度要比冬季慢些。

    行星角动量守恒还表现在万有引力作用不会使行星与太阳塌缩在一块, 并且在不需要任何斥力作用的情况下处于相当分散的状态。只要行星在最初形成时具有一定的角动量, 那么它们在与太阳之间的万有引力作用下, 将保持这个角动量不变, 行星永远不会落到太阳上去。

图 4-6

    例题 4-2  质量为m的小球系于细绳的一端, 绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上, 如图4-6所示。小球被约束在水平面内绕细棒旋转, 某时刻角速度为w1,细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度w2

    解  在小球绕细棒作圆周运动的过程中, 小球受到三个力作用:绳子的张力T, 沿绳子并指向细棒;小球所受的重力W,竖直向下;水平面对小球的支撑力N, 竖直向上。张力T与绳子平行, 不产生力矩;支撑力N与重力W平衡,它们所产生的力矩始终等于零。所以, 作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小球对细棒的角动量必定是守恒的。根据质点对轴的角动量守恒定律, 即式 (4-14), 应有

                              ,                         (1)                  

式中v1 是半径为r1 时小球的线速度, v2 是半径为r2 时小球的线速度, 并且

                          ,                       

所以式(1)可化为

                            ,

由此可以得到

                             .                         (2)

可见, 由于细绳越转越短,  , 小球的角速度必定越转越大, 即

       
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