*§4-3  质点系角动量守恒定律

    质点系的角动量、角动量定理和角动量守恒定律是在质点的角动量、角动量定理和角动量守恒定律的基础上建立起来的。设质点系中包括了n个质点, 它们的质量分别为m1m2 、…、mn , 速度分别为v1v2 、…、vn , 相对于参考点O的位置矢量分别为r1r2 、…、rn ,所受相对于参考点O的力矩分别为M 1M 2、…、M n。质点系的角动量定义为系统中所有质点的角动量的矢量之和, 即

                      .                (4-15)

对质点系中每个质点,根据对参考点O的角动量定理,列出下面的方程式

                          

将这n个方程式相加, 可以得到

              ,

                          ,                     (4-16)

式中 是作用于质点系的力矩的矢量和。因为质点系中每个质点除了受到外力的作用, 还受到系统内其他质点的作用, 所以

                       

其中 是作用于质点系的外力对参考点O的力矩的矢量和, 则是质点系内质点之间的作用力对参考点O的力矩矢量和。让大家看一下质点ij之间的情况。fijfji 是质点ij之间的作用力和反作用力, 设它们相对于参考点O的位置矢量分别为rirj , 则fijfji 相对于参考点O的力矩分别为

                    ,

图 4-7

将它们相加, 得

    .

由图4-7可以看出, (ri- rj )与fij是平行的, 它们的矢积必定等于零。对于质点系中每一对相互作用的质点, 都有同样的情形, 所以内力对参考点O的总力矩一定等于零, 即

            .

于是式(4-16)可以写为

                           ,

去掉角标“外”, 用 代表质点系所受外力对参考点O的力矩矢量和, 则上式可改写为

                            .                   (4-17)

这表示, 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率,等于该质点系所受外力对同一参考点的力矩矢量和。这就是质点系的角动量定理。

    如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零, 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化, 即

                   L = 恒矢量    ( 当 时) ,            (4-18)

这就是质点系角动量守恒定律。

    当作用于质点系的外力对某轴(例如Oz)的合力矩等于零时, 质点系对此轴的角动量将不随时间变化, 即

                 恒量      ( 当 时) ,          (4-19)

这称为质点系对轴的角动量守恒定律。

图 4-8

    观察发现, 宇宙中存在着大大小小各种层次的天体系统, 它们都具有旋转的盘状结构, 并且系统中的天体基本上都朝同一方向转动, 无论是太阳系、银河系以及众多的河外旋涡星系都是如此。图4-8 是用近红外线拍摄到的银河系侧面图,中央是银核。显然, 这种现象的形成是天体系统遵从

角动量守恒定律的必然结果。拿太阳系来说, 最初的太阳系是弥散在很大空间范围的高温气云, 并且可以看作为力学的孤立系统, 角动量是守恒的。若最初具有一定的角动量, 随着温度的降低和万有引力的作用而逐渐收缩, 最后聚集成一个个行星、卫星和太阳自身, 但角动量始终保持不变。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       
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