二、质点角动量守恒定律(§4-2)

    1. 角动量

    质点角动量在一般情况下也是相对于参考点的量。质量为m、以速度v运动的质点相对于参考点O的角动量l,定义为质点的位置矢量r与其动量mv的矢积,即

                             .

其中r是质点相对于同一参考点O的位置矢量。

    (1)  角动量是矢量,它的方向与rmv所在的平面相垂直,并且与rmv构成右旋系,即右手的四指由矢量r的方向经小于p的角转到矢量mv的方向, 拇指所指的方向就是角动量l的方向。

    (2)  因为质点的位置矢量r与参考点O的选取有关,所以质点相对于参考点的角动量也与参考点的选取有关,这与力矩的情形相似。

    (3)  在直角坐标系中质点角动量可以表示为

           

                .                                (1)

如果质点是在一个平面上运动,大家可以将此平面取为xy平面,根据上式应有

                       .

这表示,在这种情况下,质点的角动量只具有z分量,或者说质点的角动量的方向垂直于该平面。将上式写为标量式,则为

                         .                      (2)

    (4)  现在大家证明式(2)与教材中的式(4-8)是一致的。

4-1

    假如质点是在xy平面上运动的,在某时刻到达点P,此时的位置矢量为r,动量为mv,它们之间的夹角为q,它们与x轴的夹角分别为ab,如图4-1所示。显然

        , ;

       , .

将以上关系代入式(2),得

    

        .

与教材中的式(4-8)一致。

    (5)  对于质点在xy平面上运动的情况,教材中式(4-8)还包含了一个结论,这就是

                               .

应该注意的是,这个结论是有条件的,这就是对于l来说,参考点必须取在z轴与xy平面的交点上,如图4-1中的O点。

4-2

    有趣的是,如果两个质量相等的质点AB 在同一个固定的平面内以相同的角速度绕着它们连线的中点作圆周运动,如图4-2(a)所示,若取该固定平面为xy平面,取过连线中点并与该固定平面垂直的轴为z轴,那么这两个质点对z轴上任意一点的角动量,一定等于它们对z轴的角动量,即

                              .

无论参考点O取在z轴的什么位置,上式都成立。关于这一点,很容易从图4-2(b)中看到的。在图4-2(b)中,xy平面是过AB并与纸面垂直的平面。由于对称性,质点AB对于z轴上任意一点O的角动量lAlB,不仅大小相等、与z轴的夹角(g)相同,并且处于同一个平面内,它们对点O的总角动量

                          

必定沿着z轴,所以它在z轴上投影的长度必定等于它自身的长度。

    2. 角动量定理

    这个定理可以表述为,作用于质点的合力对某参考点的力矩,等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率,即

                            .

    (1)  这个定理是从牛顿第二定律导出的,所以它也应该与牛顿运动定律一样只适用于惯性系。

    (2)  定理中涉及的两个量力矩M和角动量l,都是对参考点的量,并且是对于同一个参考点的。

    (3)  角动量定理的上述矢量方程式在直角坐标系中的分量式,可以表示为

            ,      ,      .

    如果质点是在一个平面上运动,大家可以将此平面取为xy平面,这时只有上面的第三式有实际意义,这就是质点对轴的角动量定理:

                            .

它表示,质点对某轴的角动量随时间的变化率,等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。

    3. 角动量守恒定律 

    若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动量守恒定律,可以表示为

                        l = 恒矢量.

    (1)  有心力对力心的力矩恒等于零,所以一切仅在有心力作用下运动的质点,对力心的角动量总是守恒的。角动量l为恒矢量,意味着角动量的方向恒定不变,角动量的大小恒定不变。

    a)  角动量的方向恒定不变,根据公式

                           ,

就是rv所构成的平面的取向恒定不变,或者说,质点的位置矢量和速度都处于一个与l垂直的恒定不变的平面内。

    b)  角动量的大小恒定不变,根据教材中的例题4-1,就是掠面速度恒定不变,或者说,质点相对于力心的位置矢量在单位时间内扫过的面积恒定不变。这正是开普勒第二定律。

    (2)  如果合力对z轴的力矩为零,即,则质点相对该轴的角动量不随时间变化,可以表示为

                            ,

这就是质点对轴的角动量守恒定律。

       
XML 地图 | Sitemap 地图