[习题解答]

    4-1  质量为1.0 kg的质点沿着由 r = 2t 3 i + (t 4 - 3t 3 ) j 决定的曲线运动,其中t是时间,单位为sr的单位为m。求此质点在 t = 1.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩。

      质点的速度为

         ,

质点的加速度为

         ,

作用于质点的力为

                       .

质点在 t = 1.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩为

   .  

    4-2  质量为1.0 kg的质点在力F = (2t - 3) i + (3t - 2) j 的作用下运动,其中t是时间,单位为sF的单位是N,质点在t = 0 时位于坐标原点,且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩。

      由题意,质点的质量为m = 1.0 kg,质点受力为,所以质点的加速度为

                      .

因为

                                ,

对上式积分,可求得质点的速度

    ,

t时刻质点的位置矢量为

.

质点在 t = 2.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩为

       

       .

    4-3  如果忽略空气的影响,火箭从地面发射后在空间作抛物线运动。设火箭的质量为m,以与水平面成a角的方向发射,发射速度为v1。到达最高点的速度为v2 ,最高点距离地面为h。假设地球是半径为R的球体,试求:

    (1)  火箭在离开发射点的瞬间相对于地心的角动量;

    (2)  火箭在到达最高点时相对于地心的角动量。

     

    (1)  在离开发射点的瞬间火箭相对于地心的角动量为

            

4-5

式中k为垂直于抛物线所在的竖直平面的单位矢量,图4-5画面平面就是抛物线所在的竖直平面。

    (2)  在到达最高点时,火箭相对于地心的角动量为

         ,

得到上式时用到了r = R + hv2的方向沿地面的水平方向,并与r相垂直。

    4-4  求题4-1中的质点在 t = 1.0 s 时相对于坐标原点O的角动量。

     

     

        .

    4-5  求题4-2中的质点在 t = 2.0 s 时相对于坐标原点O的角动量。

     

  

   .

         4-6

    4-6  质量为m的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动,圆心为O点,小球的角速度为w细绳与竖直方向的夹角为j,试求:

    (1)  小球相对于O点的角动量;

    (2)  角速度w与夹角j之间的关系。

     

    (1)  取小球作匀速圆周的水平面为xy平面,取z竖直向上,如图4-6所示。小球相对于O点的角动量L沿z轴方向,故有

         .

    (2)  小球在运动中所受到的力有细绳的张力T和重力mg,这两个力的合力F处于xy平面内并指向O点,所以小球所受相对于O点的力矩等于零,故小球的角动量守恒,即

                            .

由上式可得

                             ,

式中C为恒量。由此可得角速度w与夹角j之间的关系,为

                             .

    4-7  一个质量为m的质点在O-xy平面上运动,其位置矢量随时间的关系为r = a cos w t i + b sin w t j,其中 abw都是常量。从质点运动和角动量定理两个方面证明此质点对坐标原点O的角动量是守恒的。

     

    (1)  从质点运动的角度看

         ,

          .

因为abw都是常量,所以L也是常量,即角动量守恒。

    (2)  从角动量定理的角度看

    根据质点运动的位置矢量表达式,可以得到

                               ,

                                                   .

将上两式平方相加,得

                               ,

这表示质点作椭圆运动。在这种情况下,作用于质点的力必定是有心力,即力始终指向椭圆的一个焦点。所以相对此焦点的力矩必定等于零。根据动量定理

                                ,

M = 0,所以

                               .

    4-8  不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮,两端分别吊有重物和小猴,并且由于两者质量相等,所以开始时重物和小猴都静止地吊在绳端。试求当小猴以相对于绳子的速度v沿绳子向上爬行时,重物相对于地面的速度。

      按照题意画成图4-7,取过滑轮中心O点的水平轴为Oz,正方向指向读     

4-7

者,并把重物、小猴、绳子和滑轮作为一个系统,即质点系。该系统所受外力相对滑轮中心O的力矩有两个,一个是重物所受重力mgO点的力矩,另一个是小猴所受重力mgO点的力矩,这两个力矩相平衡,即

             ,

式中R是滑轮的半径。所以该质点系角动量守恒的。

    显然,当小猴不动时,系统相对于O点的角动量为零,即

                      .

    设当小猴相对于绳子向上运动的速度为v时,重物相对于地面向上的运动速度为u,则小猴相对于地面向上的速度为v - u,系统相对于O点的角动量为

             .

    质点系的角动量是守恒的,即L1 = L2 ,于是可求得

                               .

4-8

    4-9  不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮,轻绳的一端吊着托盘(见图4-8),托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧,轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡,因而整个系统是静止的。设托盘和小弹簧的质量分别为Mm,被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为h。现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断,能够上升的最大高度是多大?

      根据题意,重物的质量为M + m,以托盘、弹簧、重物和滑轮为质点系。以滑轮中心为参考点,系统所受合外力矩为零,故角动量守恒。所以下面的关系成立

              ,

式中v是当缠缚的细线断开时弹簧向上弹的初速度,V为托盘获得的向下的初速度,这两个速度均相对于地面;r是滑轮的半径。由上式解得托盘由于弹簧弹起而获得的速度为

                             .

缠缚的细线断开时弹簧所获得的弹力势能等于mgh,它全部转变为系统的动能,就是弹簧、托盘和重物的动能之和,即

                        .

由以上两式可解得

                             ,

所以弹簧弹起的最大高度为

                           .

    4-10  我国的第一颗人造地球卫星于1970424日发射升空,其近地点离地面439 km,远地点离地面2384 km。如果将地球看为半径为6378 km的均匀球体,试求卫星在近地点和远地点的运动速率。

      卫星是沿椭圆形轨道运行的,近地点和远地点都是卫星离地心距离为极值时的位置,在这两个位置上卫星的速度与其位置矢量相垂直。设在近地点卫星的位置矢量和速度分别为r1v1,在远地点卫星的位置矢量和速度分别为r2v2。根据角动量守恒,有

                              ,

                                .

根据机械能守恒,有

                     .

由以上两式消去v2,得

                         .

将数值 代入上式,得

                    .

远地点的速度为

                        .

       
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