二、刚体的转动惯量                                                  

从转动动能表达式大家已经看到, 刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度, 质量越大, 运动速度就越不容易改变。而在刚体转动中, 也有类似的现象, 即转动惯量越大的刚体, 其角速度越不容易改变。所以, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。

    式(5-4)表明, 刚体相对于某转轴的转动惯量, 是组成刚体的各体元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。刚体的质量是连续分布的, 式(5-4)中的求和号可以用积分号代替, 于是

                      ,               (5-6)

式中dVρ分别是体元的体积和密度,  r是该体元到转轴的距离。利用式(5-6), 大家计算了几种常见形状的刚体的转动惯量, 并将结果列在表5-1中。

    由表5-1可以看到, 刚体的转动惯量与以下因素有关:

    (1) 刚体的质量:各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比;

    (2) 转轴的位置:在表5-1中, 并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同,但转轴的位置不同, 转动惯量也不同;

    (3) 质量的分布:质量一定、密度相同的刚体, 质量分布不同 (就是刚体的形状不同)转动惯量也不同。表中从上到下共列出了五种质量相等而形状各异的刚体,其转动惯量的数值差别很大。

    在国际单位制中, 转动惯量的单位是kg × m2 (千克×米2)。

表5-1  几种常见形状刚体的转动惯量

例题 5-1  一根质量为m = 1.0 kg、长为l = 1.0 m 的均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度w = 63 rad×s-1 在旋转, 求转动动能。

    解  先求细棒对转轴的转动惯量J, 然后根据式(5-5)求转动动能Ek

    将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系O-xy,取y轴为转轴, 如图5-4所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为

                              .

根据式(5-4), 应有

图 5-4

                   

棒的转动动能为

               .

    这里将要先容的这两个定理可以帮助大家计算刚体对不同转轴的转动惯量。

    1. 平行轴定理

    如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为JC , 那么对与此轴平行的任意轴的转动惯量可以表示为

                         ,                      (5-7)

式中m是刚体的质量,d是两平行轴之间的距离。此式所表示的结论称为平行轴定理。由这个定理可以得出, 在刚体对各平行轴的转动惯量中, 以对过质心轴的转动惯量为最小。

    2. 垂直轴定理

    若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy平面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系

                            ,                        (5-8)

这一规律称为垂直轴定理。注意, 对于厚度不是非常小的板, 这个定理不适用。

    关于这两个定理的证明, 在一般的力学书上都可以找到, 如有需要,可去查阅。

    例题 5-2  在上一例题中, 对于均匀细棒, 大家已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 ,求对通过棒端并与棒垂直的轴的转动惯量。

    解  显然,两平行轴的距离 , 代入平行轴定理的表达式(5-7)中, 得

                  .

    例题 5-3  求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。

图 5-5

    解  应先根据公式(5-4)求出薄圆盘对通过盘心并垂直于盘面的Oz轴的转动惯量Jz ,然后再由垂直轴定理求出对通过盘心并处于盘面内的Ox 轴的转动惯量Jx

    因为盘的质量分布均匀, 所以盘的质量面密度 为常量。将圆盘划分成许多圆环, 其中一个圆环的半径为r、宽为 dr, 如图 5-5 所示,此圆环的质量为 。圆盘对通过盘心并垂直于盘面的Oz轴(过O点垂直于纸面, 图中未画出)的转动惯量为

             .

    根据垂直轴定理, 有

                             ,

由于对称性,  , 所以

                           ,

解得

                              .

       
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