三、力矩作的功

    在质点力学中大家已经知道, 如果质点在外力作用下沿力的方向发生位移, 那么力对质点必定作功, 并且功可由作用力与质点沿力的方向移过距离的乘积来表示。在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位移, 那么该力矩也作了功, 并且功的表示式与力对质点作功的表示式具有相似的形式。

    从§4-1 对力矩的讨论中大家已经知道, 对定轴转动的刚体起作用的力矩,只是力矩沿转轴的分量, 即若取转轴为z轴, 则起作用的只是Mz。由对z轴力矩Mz的表达式(4-4)可以看出, 提供Mz的只是FO-xy平面(或任意一个转动平面)内的投影, 而与F沿转轴的分量无关。所以, 在讨论刚体定轴转动时, 只需考虑外力F在转动平面内的分力就够了。既然如此, 大家可以约定, 以下所提及的外力都认为是处于转动平面内的。

图 5-6

    假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是F1F2  、…、Fn 。让大家先考虑其中的Fi 对刚体的作用。如图5-6所示, 外力Fi 作用于刚体上的点P, 过点P作垂直于z轴的平面, 交z轴于点O, 显然这个平面就是刚体的一个转动平面。在此平面内, 点P相对于点O的位置矢量为ri , riFi 的夹角为f i 。在d t时间内, 刚体转过了dq角, 与此相对应, 点P的位移为dri 。在此过程中, 外力Fi 所作的元功为

                          ,

如果Fi 与位移dri 所夹的角为ai , 那么上式可化为

                   ,

式中dsi 是点P在d t时间内通过的路程。 因为dsi = ri dq, 并且cosai = sinfi , 所以

                      ,                  (5-9)

式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。

    对于作用于刚体的其他外力, 同样也可用上述方法进行分析, 并得出与上式相同的结果。因此, 在整个刚体转过dq 角的过程中,n个外力所作的总功为

                     ,

式中 ( )是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz 。因此上式可以写为

                           .                         (5-10)

上式表示, 定轴转动的刚体在转过dq 角的过程中, 外力矩所作的功等于外力对转轴Oz的合力矩Mz与转角dq 的乘积。这就是力矩作功的基本表达式。

    如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置q1转到q2 , 那么在此过程中力矩所作的功应由下式求得

                          .                     (5-11)

    力矩的瞬时功率可以表示为

                      ,               (5-12)

式中w是刚体绕转轴的角速度。式(5-12)表示, 力矩的瞬时功率等于对转轴的力矩与角速度的乘积。

       
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