图 5-7

    例题 5-4  一个转动惯量为2.5 kg×m2、直径为60 cm的飞轮,正以130 rad×s-1 的角速度旋转。现用闸瓦将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为500 N, 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求:

    (1) 从开始制动到停止, 飞轮转过的角度;

    (2) 闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。

    解  为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度q和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力f、摩擦力矩Mz和飞轮的角加速度a

    根据图5-7所示, 飞轮的转轴垂直于纸面, 角速度沿着转轴并指向读者, 大家取角速度的方向为z轴正方向。

    闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积, 即

                    ,

f的方向如图所示。摩擦力f相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以

             ,            

摩擦力矩的方向沿z 轴的负方向, 故取负值。根据转动定理, 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度,为

                   ,

负值表示角加速度a沿着z轴的负方向。

    (1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转过的角度q可由下式求得

                             .

所以

                .    

    (2) 摩擦力矩所作的功

                   .

图5-8

         例题 5-5  质量为m1 的物体置于完全光滑的水平桌面上, 用一根不可伸长的细绳拉着, 细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后,在下端悬挂一个质量为m2 的物体, 如图5-8所示。已知滑轮是一个质量为M、半径为r的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与m1 之间的绳子的张力T1 、滑轮与m2 之间的绳子的张力T2 以及物体运动的加速度a

    解  物体m1m2和滑轮的受力情况示于图5-9中。对于物体m1 , 在竖直方向上,重力m1 g与桌面对它的支撑力FN 相平衡, 不产生加速度。在水平方向上, 它受到绳子对它的向右拉力T1 , 因而产生加速度a, 所以

                             T1 = m1 a .                        (1)

对于m2, 它受到重力m2 g和绳子对它的拉力T2 , 这两个力不平衡, 因而产生向下的加速度a, 所以有

                            m2 g - T2 = m2 a .                       (2)

对于滑轮, 受到两个方向相反的力矩T1 rT2 r的作用, 这两个力矩不平衡, 使滑轮以角加速度a按图中所示的方向转动。故有

                       .                   (3)

根据转动过程中角加速度a与加速度a的关系, 还可以列出一个方程式

图5-9

                  ra = a .          (4)

    解以上四个联立方程式, 可得

              ,

               ,

             .

    此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落了高度h时, 可以列出下面的能量关系

                     ,                 (5)

式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率, w是此时滑轮的角速度。因为 , , 所以得

                      .

由此解得

                          .                     (6)

v 2 = 2 a h 代入式(6), 可以求得两个物体的加速度

                          .

根据 , 马上可以求得张力T1

                     .

根据 可以马上算出张力T2

                          .

    以上两种方法,都是求解这类问题的基本方法, 都应该理解和掌握。

       
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