二、刚体动力学(§5-2)

    l. 刚体的转动动能

    (1)  组成刚体的所有质元作圆周运动的动能的总和,就是整个刚体的转动动能,可以表示为

                      .

    (2)  读者在理解上式时,既要看到上式与质点运动动能表达式在形式上的相似性,也要注意到刚体定轴转动自身的特点。在刚体定轴转动中,转轴与z轴重合,转动动能E k的表示式中的转动惯量J和角速度w 都是相对于z轴而言的。下面大家将会看到,对于一定的刚体,相对于不同的转轴,转动惯量会有不同的值,而在转动动能表示式中,Jw 必须相对于同一个转轴。在质点运动动能公式Ek = mv2/2中的mv却没有类似的限制。

    2. 刚体的转动惯量

    刚体的转动惯量可以表示为

                 .

转动惯量这个物理量是在质点力学中不曾见到的,这个量的出现,也从另一方面反映了刚体定轴转动的特性。读者在理解这一物理概念时,应注意下面两点。

    (1)  关于影响转动惯量的因素,教材上卷第104页已有详尽的讨论。从转动惯量的表示式中大家可以看到,这个物理量决定于刚体各部分质量相对于转轴距离的分布情况。具体地,可以用三句话表示:

    a)  转动惯量与刚体的形状有关;

    b)  在形状一定的情况下,与转轴的位置有关;

    c)  在形状和转轴位置一定的情况下,与刚体的质量成正比。

    (2)  可以把转动惯量与质点的质量相类比,来加深对转动惯量物理意义的理解。从转动动能表示式中刚体的转动惯量J ,与质点运动动能表示式中质点的质量m的地位相当这一点,大家可以推知,转动惯量是刚体转动惯性的量度,刚体相对于某轴的转动惯量越大,相对于该轴的转动惯性就越大,转动状态(由角速度来表征)就越不容易改变。在学习了转动定理之后,这一点会看得更清楚。

    3. 力矩作的功

    (1)  对于定轴转动而言力矩是描述力对刚体作用产生转动效应和改变转动状态的物理量。力矩对于刚体转动所起的作用,与力对于质点运动所起的作用是相似的。

    (2)  一般意义下的力矩M是对参考点的,是矢量。而对于定轴转动的刚体,只有对转轴的力矩分量Mz对刚体的转动有意义,力矩的其他分量对刚体的转动无意义。所以,在刚体定轴转动中,说到力矩总是指力矩沿转轴的分量Mz

    (3)  既然对刚体的定轴转动有意义的力矩是Mz ,那么对刚体的定轴转动有意义的力,只能是作用于刚体的力在转动平面内的分量,因为只有它对Mz有贡献,这正是教材第108页中所说的,“大家可以约定, 以下所提及的外力都认为是处于转动平面内的。”

    (4)  力矩作功的基本公式为

                            .

此式与质点力学中力作功的基本公式的地位相当,形式相似。这种比较有助于对力矩作功的理解和记忆。

    在推导力矩作功的基本公式时,大家假设刚体同时受到n个外力的作用,并假设这n个外力都处于转动平面内,这并不损害所得结果的普遍性。因为垂直于转动平面的力的分量,不产生相对于转轴的力矩,更不可能对刚体转动作功。

    (5)  力矩的功是过程量,力矩的功率是瞬时量,这可以从它们的表达式反映出来:

                          .

                            .

    4. 动能定理 

    (1)  在质点力学中存在一个动能定理,即外力所作的功等于质点动能的增量,读者一定会想到,在刚体定轴转动中也应该存在一个类似的动能定理。这个定理可以通过类比关系得到,其形式为

                   .

这个公式的物理意义是,在刚体定轴转动中,外力矩所作的功等于刚体转动动能的增量。

    (2)  在教材中并没有利用上述类比关系,而是从功能原理出发得到作定轴转动刚体的动能定理的表达式的。因为从理论的严密性看,尽管刚体的定轴转动与质点运动之间存在很多相似之处,但是定轴转动的刚体不能看作为一个质点,而应该看作为一个特殊的质点系,即质点间距恒定不变的质点系。所以,不能使用质点的动能定理,而必须使用质点系的功能原理。根据功能原理,外力和非保守内力所作的功等于刚体机械能的增量,即

                       .

由于组成刚体的质元之间距离不变,所以,并且机械能中只有质元作圆周运动的动能。将外力矩所作的功写为A,于是上式可化为

                            ,

或者写为

                         .

与上面从类比关系中得到的动能定理形式相同。利用这个公式处理一些刚体定轴转动问题,有时是很方便的。

    5. 转动定理

    转动定理是反映力矩对定轴转动刚体的瞬时作用的规律。将刚体定轴转动的动能定理写成微分形式

                          ,

等号两边同除以d t,就得到转动定理的数学表达式

                             .

    (1)  大家是用动能定理推导出转动定理的,这说明在刚体定轴转动中,这两个定理不是彼此独立的。原因在于,刚体的定轴转动只有一个自由度。

    在处理具体问题时,既可以使用动能定理,也可以使用转动定理。如果计算的量涉及角加速度,采用转动定理方便些;如果计算的量涉及角速度,采用动能定理方便些。

    (2)  在刚体定轴转动中的转动定理与在质点运动中的牛顿第二定律相比较,地位相当,形式相似。在这两个规律的表达式中,合外力矩与合力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。读者可以从这种对应关系和两个规律的形似中,加深对转动定理和转动惯量物理意义的理解。

    (3)  既然转动定理在刚体定轴转动中的地位与牛顿第二定律在质点运动中的地位相当,那么转动定理可以成为解决刚体转动问题的基础和出发点。在使用这个定理时必须注意,表达式中各物理量都是相对于转轴的,并且转轴是与z坐标轴重合的。式中Mz为相对于转轴的合外力矩,a 为相对于转轴的角加速度,J为相对于转轴的转动惯量。这里还有两点必须注意。

    a)  注意角加速度的符号:若刚体在Mz的作用下作加速转动,a w 符号相同;若刚体在Mz的作用下作减速转动,a w 符号相反。

    b)  因为转动定理的数学表达式中各量都是相对于转轴的,所以不能认为力矩和角加速度都是矢量物理量,从而将定理写成矢量形式,即

                             M = Ja       

这样写是错误的,希翼读者注意。

       
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