三、定轴转动刚体的角动量守恒定律(§5-3)

    1. 刚体对转轴的角动量

    对于定轴转动的刚体,其中每一个质元都绕转轴作圆周运动,整个刚体相对于转轴的角动量,等于刚体相对于同一转轴的转动惯量与角速度的乘积,即

                             .

式中各物理量都是相对于转轴的。

    (1)  在理解刚体对转轴的角动量的表示式时,仍然可以与质点运动相类比,质点的动量可以表示为

                              ,

质量m与转动惯量J相对应,速度v与角速度w 相对应,于是可将刚体对转轴的角动量Lz与质点运动的动量p相对应。

    (2)  在刚体对转轴的角动量的表示式中,所涉及的三个物理量都是相对于转轴的,所以也不能写成矢量。

    (3)  在本书§4-2中讨论质点角动量时,大家曾特别分析了一种对称情况,这就是两个质量相等的质点,在同一平面内、以相同的角速度绕着它们连线的中点作圆周运动的情况,并得出结论:它们对于z (过连线中点并与运动所在平面垂直的轴)上任意一点O的角动量不仅大小相等、与z轴的夹角(g)相同,并且处于同一个平面内,它们对点O的总角动量l (= lA + lB)必定沿着z轴,所以它在z轴上的投影lz必定等于它自身,即

                              .

    对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体,可以看作是由众多上述对称质点对所组成。所以整个刚体对转轴上任意一点的角动量L必定沿着转轴并与角速度w的方向相同,于是可以写成下面的矢量关系:

                             .

    2. 刚体对转轴的角动量定理

    作定轴转动的刚体所受的冲量矩,等于相对于转轴的角动量的增量,即

                           ,

或写成积分形式

                         .

这就是刚体对转轴的角动量定理。这个定理表示了力矩对定轴转动刚体的时间积累效应。

    在理解刚体对转轴的角动量定理时,可以将它与描述质点运动的动量定

                          

相对照。

    同样,由于刚体对转轴的角动量定理的表达式中各物理量MzJw 都是相对于转轴的,所以不能象质点运动的动量定理那样写成矢量形式。

    3. 刚体对转轴的角动量守恒定律

    如果作定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零,即Mz = 0,那么刚体对同一转轴的角动量不随时间变化,即

                          

这就是刚体对转轴的角动量守恒定律。

    (1)  因为刚体相对于定轴的转动惯量是不变的,所以,上式实际上表现为刚体在不受外力矩作用时是在作匀角速度定轴转动。

    (2)  这个定律对于绕同一轴转动的刚体组也是适用的。人体可以看作为这样的刚体组。对于这样的刚体组,各部分的角速度都相同,而整体对于转轴的转动惯量则是可变的。当合外力矩等于零时,如果整体相对于转轴的转动惯量发生了变化,则角速度也必定改变,并且转动惯量与角速度的乘积保持恒定。在应用这个定律时应注意以下几点:

    a)  刚体对转轴的角动量守恒定律的应用条件,是刚体或刚体组必须满足所受外力的合力矩为零;

    b)  角动量、转动惯量和角速度必须相对于同一个转轴;

    c)  若将这个定律应用于刚体组,刚体组中的各个刚体之间可以发生相对运动,但是它们必须是相对同一转轴在转动,并且任意瞬间它们都具有相同的角速度。

       
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