[例题分析]

    例题5-长度为l、质量为m的均匀棒悬挂在通过其顶端的水平轴上,并可绕此轴在竖直平面内作无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时,底端的速率为v,试求:

    (1)  棒通过平衡位置时的转动动能Ek

    (2)  棒摆过的最大偏角jm

    (3)  在从平衡位置到达最大偏角jm的过程中,在任一位置时棒的角加速度a

   

5-2

    (1)  要求转动动能E k,必须先求出均匀棒相对于通过其一端的轴的转动惯量J,将棒的固定点O取为坐标原点,建立坐标系O-x,在距离Ox处取棒元dx (见图5-2 ),棒元dx的质量为

            .

根据转动惯量的定义,均匀棒相对于一端的转动惯量为

                    .    

因为棒通过平衡位置时底端的线速率为v,所以棒此时的角速度为

                              .

此时棒的转动动能为

                  .

     (2)  假设棒处于平衡位置的重力势能为零,当它摆动到最大偏角时,质心位置升高了h,显然

                           .

根据机械能守恒定律,当棒达到最大偏角时应有

                            ,

Jh的表示式代入上式,可以解得最大偏角的余弦函数,为

                          .

    (3)  在从平衡位置到达最大偏角jm的过程中,棒受到由自身重力引起的力矩的作用,此力矩与棒的偏角j 有关,可以表示为

                           .

棒的角加速度a就是由这个力矩引起的。所以,根据转动定理应有

                          ,

解得棒的角加速度为

                             .

角加速度的方向与力矩的方向一致,它们都与角速度的方向相反。

    例题5-2  一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平桌面上,其一端固定,在外力矩作用下此棒可绕此固定点沿桌面转动。在某时刻将外力矩撤去,此时棒的角速度为w 0,由于棒与桌面之间存在摩擦,经过一段时间,棒停止转动。若棒与桌面之间的滑动摩擦系数为m,试求从外力矩撤去到棒停止转动,棒转过的转数和摩擦力矩所作的功。

      由于摩擦力矩的作用,棒的转动状态不断改变,最后停止,或者说由于棒克服摩擦力矩而作功,转动动能不断减小,最后变为零而停止转动。所以,此题的关键在于求出摩擦力矩。求得摩擦力矩之后,可根据转动定理求出棒的角加速度,然后根据匀变速定轴转动和力矩作功的公式,分别求出外力矩撤去后棒转过的转数和摩擦力矩所作的功。所以,此题可按下面的步骤求解。

    (1)  求摩擦力矩

    摩擦力矩是由桌面对棒的摩擦力引起的。由于棒上各处到固定点的距离不同,产生的力矩也不同。将棒分成若干棒元,棒元的长度为dl,质量则为

                             .

在距固定端l处的棒元所受桌面的摩擦力为

                         .

此摩擦力对棒提供的力矩为

                         .

若取z轴垂直于桌面向上,棒的角速度沿z轴正方向,为正值,而摩擦力矩的方向必定沿轴的负方向,故取负值。棒所受到的总摩擦力矩为

                  .      

    (2)  求角加速度

    根据转动定理

                              ,

其中均匀棒相对于一端的转动惯量为,代入上式即可求出棒的角加速度,为

                            .

角加速度为负值,表示角加速度的方向沿z轴的负方向,与角速度的方向相反,棒在摩擦力矩的作用下作减速转动。

    (3)  求外力矩撤去后棒转过的转数

    先求转过的总角度q。根据匀变速定轴转动的规律,应有

                            .

a的表达式代入上式,即可求得

                          .

转过的转数为

                          .

    (4)  求摩擦力矩所作的功

                       .

    还可以用另一种方法求解。根据定轴转动的动能定理

                           ,

将转动惯量代入上式即可求得

                           .

结果与上面的一致。

    例题5-3  一个质量为100 kg的圆盘状平台,以1.05 rad×s-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转,在平台的边缘站着一个质量为60 kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时,平台的转速是多大?

      因为带着人的平台是在自由旋转的,即不受任何外力矩的作用。若把人和平台看为一个系统,这就是大家前面所说的刚体组,应满足角动量守恒定律的适用条件,于是有

                           .                        (1)

式中J1J2分别是人站在平台边缘和站在平台中心时刚体组的转动惯量,w1w2分别是人站在平台边缘和人站在平台中心时刚体组的角速度,其中w1为已知,w2待求。

    当人站在平台边缘时,刚体组的转动惯量等于平台的转动惯量与人相对于同一转轴的转动惯量之和,即

                          .                    (2)

式中m1m2分别是平台和人的质量,R是平台的半径。当人站在平台中心时,刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量,即

                             .                       (3)

将式(2)和式(3)代入式(1),即可解出人走到平台中心时系统的角速度

            .      

       
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