[习题解答]

    5-1  作定轴转动的刚体上各点的法向加速度,既可写为an = v2 /R,这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成反比;也可以写为an = w2 R,这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比。这两者是否有矛盾?为什么?

      没有矛盾。根据公式an = v2 /R,说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成反比,是有条件的,这个条件就是保持v不变;根据公式an = w2 R,说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比,也是有条件的,条件就是保持w不变。

    5-2  一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动,当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时,圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度?数值是恒定的还是变化的?

     

    (1)  当角速度w一定时,切向速度v = Rw 也是一定的,所以切向加速度

                             ,

即不具有切向加速度。而此时法向加速度

                         ,

可见是恒定的。

    (2)  当角加速度一定时,即恒定,于是可以得到

                            ,

这表示角速度是随时间变化的。由此可得

                             .

切向加速度为

                             ,

这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为

                            ,

显然是时间的函数。

    5-3  原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动,30 s后转速达到152 rad×s-1 。求:

    (1)  在这30 s内电机皮带轮转过的转数;

    (2)  接通电源后20 s时皮带轮的角速度;

    (3)  接通电源后20 s时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度,已知皮带轮的半径为5.0 cm

     

    (1)  根据题意,皮带轮在作匀角加速转动,角加速度为

                           .

30 s内转过的角位移为

                      .

30 s内转过的转数为

                            .

    (2)  t = 20 s时其角速度为

                         .

    (3)  t = 20 s时,在皮带轮边缘上 r = 5.0 cm处的线速度为

                            ,

切向加速度为

                           ,

法向加速度为

                          .

    5-4  一飞轮的转速为250 rad×s-1 ,开始制动后作匀变速转动,经过90 s停止。求开始制动后转过3.14´103 rad时的角速度。

      飞轮作匀变速转动,,经过90 s,所以角加速度为

                          .

从制动到转过,角速度由w 0变为ww 应满足

                             .

所以

                    .

    5-5  分别求出质量为m = 0.50 kg、半径为r = 36 cm的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量;如果它们的转速都是105 rad×s-1 ,它们的转动动能各为多大?

     

    (1)  细圆环:相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为

           ,

转动动能为

                         .

    (2)  相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为

      ,

转动动能为

                          .

5-6  将一根均匀细直杆等分为四段,每段的长度都为l、质量都为ml,并在直杆内的三个等分点上分别放置一个质量为m的质点。现使此体系以角速度w 绕过其一端点并与细杆垂直的轴转动,试求此体系相对该转轴的转动惯量和转动动能。

 

(1)  此体系相对于转轴的转动惯量可以看作为两部分转动惯量的叠加,一部分是均匀细直杆的转动惯量J1,另一部分是三个质点相对于同一转轴的转动惯量J2

均匀细直杆的转动惯量:

                    ;

三个质点相对于同一转轴的转动惯量:

                 .

所以,体系相对转轴的总转动惯量为

                    .

(2)      体系相对于转轴的转动动能

                   .

    5-7  转动惯量为20 kg×m2 、直径为50 cm的飞轮以105 rad×s-1 的角速度旋转。现用闸瓦将其制动,闸瓦对飞轮的正压力为400 N,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求:

    (1)  闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩;

    (2)  从开始制动到停止,飞轮转过的转数和经历的时间;

    (3)  摩擦力矩所作的功。

     

    (1)  闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为

                       .

    (2)  从开始制动到停止,飞轮的角加速度a可由转动定理求得

                          ,

根据

                             ,

所以飞轮转过的角度为

                    ,

飞轮转过的转数为

                            .

因为

                               ,

所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为

                             .

    (3)  摩擦力矩所作的功为

                    .

      5-3

5-8  轻绳缠绕在一个质量为m0的圆盘状定滑轮的边缘,其一端悬挂一质量为m的物体,如题5-3图所示。如果滑轮的半径为r,求物体与滑轮之间的绳子张力、物体下落的加速度和圆盘的角加速度。

 

取定滑轮的转轴为z轴,z轴的方向垂直于纸面并指向读者。根据牛顿第二定律和转动定理可以列出下面的方程组:

                        ,

                       ,

                         ,

                         .

其中,于是可以解得物体下落的加速度为

                       ,

负号表示物体下落,加速度的方向向下。

                           .

圆盘的角加速度为

                       ,

5-4

负号表示圆盘状定滑轮沿顺时针方向加速转动。

    5-9  轻绳跨过一个质量为m0的圆盘状定滑轮,其一端悬挂一质量为m的物体,另一端施加一竖直向下的拉力F,使定滑轮按逆时针方向转动,如图5-4所示。如果滑轮的半径为r,求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。

      取定滑轮的转轴为z轴,z轴的方向垂直于纸面并指向读者。根据牛顿第二定律和转动定理可以列出下面的方程组:

                       ,

                       ,

                                 ,

                                 .

其中,于是可以解得

                             ,

                         .

    5-10  一根质量为m、长为l的均匀细棒,在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动,如图5-5所示。现使棒从水平位置自由下摆,求:

5-5

    (1)  开始摆动时的角加速度;

    (2)  摆到竖直位置时的角速度。

     

    (1)  开始摆动时的角加速度:此时细棒处于水平位置,所受重力矩的大小为

                   ,

相对于轴的转动惯量为

                               ,

于是,由转动定理可以求得

                         .

    (2)  设摆动到竖直位置时的角速度为w,根据机械能守恒,有

                             ,

由此得

                           .

5-11  一根高为h的均匀直杆,起初竖直立于地面上,后因受扰动而倒下。求直杆顶端触及地面时直杆的角加速度和线速度。

 

(1)      直杆顶端触及地面时的角加速度

此时直杆处于水平位置,所受重力矩的大小为

                           ,

直杆倒地的过程中,其转轴必定处于地面、并与直杆相垂直,直杆相对于此转轴的转动惯量为

                                .

由转动定理可以得到

.

(2)      直杆顶端触及地面时的线速度

设直杆顶端触及地面时的角速度为w,根据机械能守恒,有

                              ,

由此得

                        ,

所以此时顶端的线速度为

                             .                       

5-12  有一质量为m、长为l的均匀细直棒,其一端由桌子边缘支撑,另一端用手指托住,使它呈水平状。在某瞬间突然将手指抽回,求在此瞬间:

(1)      直棒绕桌边支撑点的角加速度;

(2)      直棒质心的竖直加速度;

(3)  桌边支撑点作用于直棒的竖直方向的力的大小。

(1)      相对于桌边支撑点的重力矩的大小为

,

直棒相对于过桌边支撑点并与直棒垂直的轴的转动惯量为

                                ,

由转动定理可以得到

.

(2)      直棒质心的竖直加速度

                         .

(3)      由上式可见,直棒质心所受的竖直方向的力的大小为

                         .

力的方向竖直向下。这个力可以看作为作用于两个端点的力的叠加,即

                              ,

式中FAFB分别是桌边支撑点作用于直棒的力和原先被手指托住的端点所受的力。桌边支撑点可以看作为支点。根据杠杆原理

,

于是可以求得桌边支撑点作用于直棒的竖直方向的力的大小

.

    5-13  如果由于温室效应,地球大气变暖,致使两极冰山熔化,对地球自转有何影响?为什么?

      地球自转变慢。这是因为冰山融化,水向赤道聚集,地球的转动惯量增大,地球的自转角动量守恒,即

                                J w = 恒量.

所以角速度变小了,昼夜的时间变长了。

5-14  一个质量为m0半径为R的圆盘状平台,以角速度W 绕通过中心的竖直轴自由旋转。有一质量为m的小爬虫垂直地落在平台的边缘。问:

(1)     小爬虫刚落到平台边缘时,平台的转速是多大?

(2)     当小爬虫从平台边缘向平台中心爬动离中心的距离为r时,平台的转速是多大?

(1)      平台的转动惯量为

                         ,

处于平台边缘的小爬虫的转动惯量为

                          ,

在小爬虫落到平台边缘的过程中,相对于转轴没有外力矩的作用,角动量守恒。故有

                          ,

从中可以求得

.

(2)  在小爬虫爬向平台中心的过程中,系统的角动量仍然守恒。小爬虫到达r处时的转动惯量为

                           .

故有

                        ,

由此可以求得

                    .

    5-15  一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转,角速度为w1 ,它相对于此轴的转动惯量为J1 。现在它的正上方有一个以角速度为w2 转动的圆盘,这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为J2 。两圆盘相平行,圆心在同一条竖直线上。上盘的底面有销钉,如果上盘落下,销钉将嵌入下盘,使两盘合成一体。

    (1)  求两盘合成一体后的角速度;

    (2)  求上盘落下后两盘总动能的改变量;

    (3)  说明动能改变的原因。

     

    (1)  将两个圆盘看为一个系统,这个系统不受外力矩的作用,总角动量守恒,即

                         ,

所以合成一体后的角速度为

                            .

    (2) 上盘落下后两盘总动能的改变量为

                   

        .

    (3)  动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦,致使一部分动能转变为热能。

    5-16  一均匀木棒质量为m1 = 1.0 kg、长为l = 40 cm,可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。一质量为m2 = 10 g的子弹以v = 200 m×s-1 的速率射向棒端,并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和转轴相垂直,求棒受子弹撞击后的角速度。

      将木棒和子弹看为一个系统,该系统不受外力矩的作用,所以系统的角动量守恒,即

                           ,                    (1)

其中J1是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量,J2是子弹相对于同一轴的转动惯量,它们分别为

                         .                   (2)

将式(2)代入式(1),得

               .

    5-17  有一质量为m0且分布均匀的飞轮,半径为R,正在以角速度w旋转着,突然有一质量为m的小碎块从飞轮边缘飞出,方向正好竖直向上。试求:

    (1)  小碎块上升的高度;

    (2)  余下部分的角速度、角动量和转动动能 (忽略重力矩的影响)

     

    (1)  小碎块离开飞轮时的初速为

                               ,

于是它上升的高度为

                           .

    (2)  小碎块离开飞轮前、后系统不受外力矩的作用,所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前,飞轮的角动量就是系统的总角动量,为

                          

飞轮破裂后,小碎块相对于转轴的转动惯量为

                               ,

角动量为

                               .

碎轮的角动量为

                 ,

式中w 2是碎轮的角速度。总角动量守恒,L = L1 + L2 ,即

                    ,

整理后为

                    ,

所以

                                  .

这表明飞轮破碎后其角速度不变。

    碎轮的角动量为

                           .

碎轮的转动动能为

                     .

       
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