§6-3  伯努利方程

    伯努利(D.Bernoulli, 1700-1772)方程反映了理想流体在作定常流动时压强和流速的关系, 是流体力学中的基本方程式。

在重力场中作定常流动的理想流体内任取一细流管, 并在此流管中考察一段流体块的流动情况。在图6-7中, S1S2分别表示在细流管中所截的两个横截面的面积, 相对同一个水平参考面, 它们的高度分别为h1h2 。处于S1S2之间的流体块在Dt时间内流到S1'到S2'之间的位置上。流体流经截面S1的流速为v1,流经S2的流速为v2。由于理想流体是不可压缩的, 大家所讨论的流体块从位置S1-S2 流到位置S1'-S2' , 其体积不变, 所以从S1S1'之间的流体质量必定等于从S2S2' 之间的流体质量, 并用 Dm表示之。

         功能原理表示, 系统从一个状态变到另一个状态的过程中, 机械能的增量等于外力和非保守内力作功的代数和。因为理想流体没有黏性, 故在大家的问题中, 不存在非保守内力, 只需考虑外力作功就够了。

    机械能的增量包括动能的增量和势能的增量两部分。由图6-7可以看出, 流体块在两个位置上的交叠部分(即从S1'到S2的部分)的机械能没有变化。所以, 整个流体块从位置S1-S2流到位置S1'-S2' 的过程中,机械能的增量DE等于从S2S2' 之间流体的机械能(Ek +Ep)2与从S1S1'之间流体的机械能(Ek +Ep)1之差, 即

图 6-7

                                   (6-8)                                                                                                                                                                                                  

    现在分析外力对流体块所作的功。作用于从S1S2之间的流体块上的力, 有重力和周围流体对它的压力。对于流体块与地球所组成的系统而言, 重力属于内力, 它作的功已经由流体的势能变化所反映, 并且已经包括在式(6-8)中了。周围流体对流体块的压力是外力, 但并不都对流体块作功。流管外面的流体对流体块的压力都与流管的周壁相垂直, 即与流体块的运动方向相垂直, 因而对流体块不作功。只有所取流管内部的流体作用在流体块前、后的压力才对流体块作功。如果截面S1处的压强为p1, 作用于S1面上的压力f1 = p1S1 , 在Dt时间内S1移过了距离v1Dt而到达S '1处,f1对流体块所作的功DA1可表示为

                         DA1 = p1 S1v1Dt .

如果截面S2处的压强为p2 , 作用于S2面上的压力f2 = p2 S2 , 在Dt时间内S2移过了距离v2Dt而到达S '2处,f2对流体块所作的功DA2可表示为

                         DA2 = -p2 S2v2Dt ,

式中负号是因为压力f2的方向与流体块的运动方向相反。这样, 周围流体的压力对流体块所作的总功DA应为

                .        (6-9)

    根据连续性方程, S1 v1 = S2v2 , 并且

                     ,             (6-10)

将式(6-10)代入式(6-9), 得

                       .                 (6-11)

根据功能原理, 应有

                           DE = DA ,

               ,

将上式整理可写成

              .        (6-12)

因为S1S2都是任意选取的, 所以可以将式(5-38)中的角标去掉, 对于同一条细流管中的任一截面, 下面的关系总是成立的

                     恒量.               (6-13)

式(6-12)和式(6-13)都称为伯努利方程, 它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。

    如果理想流体沿水平流管作定常流动, 伯努利方程可写为

                        恒量.                 (6-14)

上式表明, 在同一条水平流管中, 流速大的地方压强必定小, 流速小的地方压强必定大。前面所讲的连续性方程向大家表明, 流速大的地方流管狭窄,流速小的地方流管粗大。从这两个结果中,大家可以得到这样的结论: 当理想流体沿水平管道流动时, 管道截面积小的地方流速大、压强小, 管道截面积大的地方流速小、压强大。喷雾器、水流抽气机等都是利用这个原理制成的。

    大家可以把静止看作为一种特殊的运动状态, 而将伯努利方程运用于静止流体中, 不过这时流体中任意两点都可以看作是处于同一条流线上。若在密度为r的静止流体中有AB两点, 其高度分别为hAhB , 对于这两点列出伯努利方程,为

                     ,

或者

                        .               (6-15)

上式表示, 静止流体中任意两点的压强差与流体的密度ρ和这两点的高度差(hB -hA )成正比。如果AB两点的高度相等, 则由上式得

                           pA = pB .                                (6-16)

这表明, 静止流体中同高度两点的压强相等。

    静止流体的压强公式(6-15)和(6-16)完全可以由静止流体各部分之间相互作用的性质求得, 而在这里大家从伯努利方程中导出了。可见, 静止流体的确是定常流动流体的特例。

       
XML 地图 | Sitemap 地图