二、 理想流体及其连续性方程(§6-2)

    1.  关于理想流体的几个概念

(1)  理想流体:绝对不可压缩和完全没有黏性的流体,就是理想流体。

    关于可压缩性,液体的可压缩性很小,例如,10°C的水,增加1大气压的压强,其体积只减小原来体积的1/2000。所以通常都看作是不可压缩的。气体是可压缩的,但由于它的流动性很好,只要出现很小的压强差,就马上发生流动,使各处的密度差异减小。所以在适当场合下, 气体也可以被视为不可压缩的。

    关于黏性,不同流体,黏性有很大差异。气体和水的黏性极小,在流程不大时,由黏性所引起的机械能的损耗可以忽略,从而可视为没有黏性的。

    (2)  定常流动:也称为稳定流动,或稳流,是指流体质点流经空间任一给定点时的速度不随时间变化的流动。

    a)  在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。

    b)  从物理学发展史看,研究流体的运动有两种方法,一种称为拉格朗日法,另一种称为欧拉法。拉格朗日法是把流体的各个质点作为研究对象,描述它们在不同时刻的位移、速度和加速度;欧拉法却着眼于流体所占空间中的各个位置,描述流体经过这些位置时的速度和加速度。

    欧拉法的研究与实际需要相一致,因为通常只需了解流体通过空间某些位置时的运动状况及其变化,而无需知道流体单个质点的全程运动情况。欧拉法就是大家现在研究流体力学所采用的方法,从而引出了定常流动、流线和流管等概念。

    (3)  流线:是在流体中所画的一系列曲线, 曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同。

    a)  流线不能相交,这是流线的一个重要性质。

    b)  在定常流动中,流线的走向和分布是不随时间变化的,它们与流体质点的运动轨迹相重合。

    (4)  流管:由多条流线围成的管状区域, 就是流管。

    a)  流管就是一种无形的管道,流体都沿着流管流动。对于任一条流管来说,管内的流体不能穿过管壁流到管外去,管外的流体也不能穿过管壁流进管内来。原因就是流线不能相交。

    b)  流体在流管中的流动状况就是整个流体流动状况的缩影,从而为研究整个流体的流动状况提供了便利。

    2.  理想流体的连续性方程

    在教材(上卷)123页得到了连续性方程的如下形式:

                         .

对此,读者应注意以下问题。

    (1)  上式描述了在一条细流管中流体流动的规律。S 表示该细流管的一个横截面的面积,v是流体流经该横截面时的流速。如果所选流管过粗,横截面S上各点的流速就不一定相等了。

    (2)  连续性方程是质量守恒在不可压缩流体这一特殊情况下的具体表现形式。所以,上式对于任何不可压缩流体都是适用的。

    (3)  由连续性方程可以断定,在流速大的地方, 流管狭窄, 流线必定密集;在流速小的地方, 流管粗大, 流线必定疏散。

    (4)  但是对于可压缩流体,上面形式的连续性方程不一定正确,而质量守恒仍然成立,所以成为下面的形式:

                            .

流体密度r是一个随着流动而变化的量,上面根据流线的密、疏反映流速的大、小的关系也就不再正确了。例如,在超音速气流中,会出现流线较密处流速较小,而流线较疏处流速却较大的情况。

       
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