三、 伯努利方程 (§6-3)

    伯努利方程可以写为

                  ,

或者

                       .

它是理想流体动力学的基本方程式,在理解和应用时,要注意以下几点。

    (1)  该方程只适用于以下条件:

    a)  理想流体;

    b)  在重力作用下;

    c)  作定常流动。

    请读者从该方程的推导过程中寻找出这些条件的依据。

    (2)  式中pvh是流线上同一点的压强、流速和相对于所取水平参考面的高度。在同一条流线上,的值是相同的,而在不同的流线上,的值一般是不同的。只有当各流线均来自流体质点以同样速度作匀速直线运动的空间时,在各条流线上才具有相同的值。下面大家来对此作简要说明。

6-1

    由图6-1可以看到,在流体左侧以阴影所表示的区域中,流线是等间距的平行直线,表明这个区域的流体质点都以同样的速度作匀速直线运动。在这个区域内,沿竖直方向取一高度为h的柱状流体块,在两条流线上各取一点,分别记为AB ,并且它们分别处于柱状流体块的上、下底面上。显然这个流体块必定以与流体质点同样的速度作匀速直线运动。在竖直方向上流体块无加速度,根据牛顿第二定律,可以得到

                    .                     

式中DS是柱状流体块的底面积。由上式可以得到

                           .                     (1)

若选择B点的水平高度为零,则根据伯努利方程,B点所在流线上各点有下面的关系:

                           .                   (2)

同样,A点所在流线上各点满足下面的关系:

                        .                 (3)

由以上三式马上可以得到

                             .

这表示,过A点和过B 点的这两条流线上伯努利方程中的恒量是相等的。用同样的方法可以证明其他流线上伯努利方程中的恒量也是相等的。

    (3)  伯努利方程也可以应用于细流管内,因为细流管的截面小,在同一截面上各点,pvh可认为是常量。

    (4)  在流动流体中压强的分布规律与在静止流体中不同,不仅与离开水平参考面的高度有关,而且与流体的流速有关,即应由伯努利方程来决定,而压强的定义不变。

    (5)  在伯努利方程

                   

中,点“1”和点“2”自然是处于同一条流线上的,那么流体是从点“1”流向点“2”呢,还是从点“2”流向点“1”?回答是,对这两种流向上式都成立。但是,对于下面将要讨论的黏性流体的运动,必须注意流向。

    (6)  伯努利方程也只适用于对惯性系中的流体运动的描述,若在非惯性系中,同样要附加惯性力的作用。

       
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