[例题分析]

6-3

    例题6-1  用图6-3所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动,求:

    (1)  虹吸管内液体的流速;

    (2)  虹吸管最高点B的压强;

    (3)  B点距离液面的最大高度。

      此题就是教材中的习题6-9

    把水看作理想流体,理想流体的特性之一是不可压缩性,根据不可压缩流体的连续性方程

                 ,

虹吸管各处横截面均匀,管内液体的流速应处处相等。取过出水口C点的水平面作为水平参考面,一切高度都由此面起算。在容器内的水面上取一点D,连接DA的线作为一条流线,如图6-3中虚线所示。流线DA与虹吸管内的流线ABC,形成一条完整的流线,并在这条流线上运用伯努利方程。

    (1)  DC两点运用伯努利方程

                  ,

代入上式,得

                      .

于是可求得管内的流速,为

                          .                 (1)

可见,管内水的流速决定于C点到容器内液面的垂直距离,此距离越大,流速也越大。

    (2)  BC两点运用伯努利方程,得

                

可简化为

                   .            (2)

可见,最高点B的压强决定于该点到出水口C的竖直距离,出水口C越低,管内B点的压强就越小。

    因为pB的最小值为零,当pB为零时,由上式可以求得

                    .              (3)

这表示,当C点的位置低到使hB = 10.339 m时,pB = 0

    读者可能会问:如果C点的位置再向下伸延,即在C点的下方再接上一段管子,使hB > 10.339 m,此时B点的压强不就出现负值了吗?大家作以下回答。

    出现负值的结论是从伯努利方程推导的结果,而伯努利方程适用的一个条件,是保持流体作定常流动。当大家加长hB,也就是加长h1时,从式(1)可以看到,管内流体的流速将会增大。随着流速的增大,定常流动的条件将遭到破坏,伯努利方程不能再使用,由这个方程导出的结果也就不正确。要保持定常流动,就不能使hB > 10.339 mB点的压强就不会出现负值。

    (3)  由上面的分析可以得到,当pB为零时,

                      .

所以hB的最大值就是10.339 m。大家可以设想,若把C点、B点和A点的位置都向上提,即减小(h1 + h2 ),增大h3,这样B点到液面的距离将会随之增大。在极限情况下,当(h1 + h2 )® 0时,就有h3 ® hB ® 10.339 m。所以,作为虹吸管,B点离开容器内液面的最大距离不能超过10.339 m

    例题6-2  有一圆柱形水桶,横截面的直径为D = 60 cm,桶底有一直径为d = l0 cm的圆孔。如果开始时桶内水的深度为h = l00 cm,试求此时水从桶底孔中流出的速率v和流量Q

      当水从底部圆孔流出时,桶内液面将下降,可将桶内水的流动视为定常流动。把桶底面选为水平参考面,取流线AB,如图6-4中虚线所示。并在此流线上运用伯努利方程。

    对于AB两点,应有

                    .

因为A点和B点都与大气相接触,所以pA = pB = p0,于是上式可化为

              .           (1)

6-4

    由于桶底圆孔的直径是桶的截面直径的1/6 不能认为是小孔,所以不能冒然地将vA取为零,这一点与上题的处理是不同的。不过根据桶和孔的直径,用连续性方程可以求出vAvB之间的关系,从而由式(1)求得vB。由连续性方程可知

           ,

所以

                .              (2)

将式(2)代入式(1),得

                          .

由上式解得

                    .       

根据圆孔的截面积和该处的流速,可以计算出流量:

                    .

这里大家所计算的流量称为体积流量。除了体积流量之外,还有质量流量,其定义为单位时间内流过某一截面的流体质量。质量流量常用于计算可压缩流体的流量。

       
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