[习题解答]

6-5

    6-1  有一个长方体形的水库,长200 m,宽150 m,水深10 m,求水对水库底面和侧面的压力。

     

    水对水库底面的压力为

 

    侧面的压力应如下求得:在侧面上建立如图6-5所示的坐标系,在y处取侧面窄条dy,此侧面窄条所受的压力为

                               ,

整个侧面所受的压力可以表示为

                        .

对于h = 10 ml = 200 m的侧面:

                       .

对于h = 10 ml = 150 m的侧面:

                       .

侧面的总压力为

                      .

    6-3  5.0´103 s的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为0.51 kg。已知该气体的密度为7.5 kg×m-3 ,管子的直径为2.0 cm,求二氧化碳气体在管子里的平均流速。

      单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积,即流量为

              ,

平均流速为

                .

6-6

    6-4  当水从水笼头缓慢流出而自由下落时,水流随位置的下降而变细,何故?如果水笼头管口的内直径为d,水流出的速率为v0 ,求在水笼头出口以下h处水流的直径。

      当水从水笼头缓慢流出时,可以认为是定常流动,遵从连续性方程,即流速与流管的截面积成反比,所以水流随位置的下降而变细,如图6-6所示。

    可以认为水从笼头流出后各处都是大气压,伯努利方程可以写为

                                                 ,

改写为

                            ,                   (1)

                               

                                 .

这表示水流随位置的下降,流速逐渐增大。整个水流可以认为是一个大流管,h1处的流量应等于h2处的流量,即

                                .                          (2)

由于

                                  ,

所以必定有

                                  ,

这表示水流随位置的下降而变细。

    根据题意,h2处的流速为v2,代入式(1),得

                              ,

                              .                         (3)

将式(3)代入式(2),得

                            ,

式中d1 = dd2就是在水笼头出口以下h处水流的直径。上式可化为

                           .

从上式可解得

                           .

    6-6  文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的,粗部和细部分别接有一根竖直的细管,如图6-8所示。在测量时,将它水平地接在管道上。当管中有液体流动时,两竖直管中的液体会出现高度差h。如果粗部和细部的横截面积分别为SA SB,试计算流量和粗、细两处的流速。

      取沿管轴的水平流线AB(如图6-7中虚线所示),并且AB两点分别对应两竖直管的水平位置,可以列出下面的伯努利方程:

,

改写为

6-7

,

            .       (1)                       

    另有连续性方程

              .        (2)

以上两式联立,可解得

                             ,

                             ,

流量为

                         .

6-8

    6-6  利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出,如图6-9所示。如果管口高出容器内液面0.65 m,并要求管口的流速为1.5 m×s-1 。求容器内空气的压强。

      取如图6-8中虚线AB所示的流线,并运用伯努利方程

,

可以认为

,

所以

              

              

               .

    6-8  在一个圆柱状容器的底部有一个圆孔,圆柱状容器和圆孔的直径分别为Dd,并且D4 >>d4 ,容器内液面高度随着水从圆孔流出而下降,试确定液面下降的速度vh的函数关系。

      设容器的截面积和液面下降的速度分别为S1 v ,圆孔的截面积和该处的流速分别为S2v2 ,此时液面高度为h 。通过液面中心画一条流线到底部圆孔的中心,对于一般竖直安顿的圆柱状容器,这条流线必定是一条铅直线。在这条流线的两端运用伯努利方程,得

                   ,               (1)

以圆孔处为水平高度的零点,即h0 = 0,同时又有p1 = p2 , 于是上式可化为

                             .                          (2)

另有连续性方程

                               .                           (3)

由式(3)

                               ,                            (4)

将式(4)代入式(2),得

                            ,

解得

                   ,

继续化为

           .             (5)

这就是所要求的液面下降速度vh的函数关系。

    6-7  用图6-3所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动,求:

    (1)  虹吸管内液体的流速;

    (2)  虹吸管最高点B的压强;

    (3)  B点距离液面的最大高度。

      此题的解答和图6-3见上面[例题分析]中的例题6-1

    6-9  从油槽经过1.2 km长的钢管将油输送到储油罐中,已知钢管的内直径12 cm 油的黏度系数为 0.32 Pa×s,密度为 0.91 g×cm-3,如果要维持 5.2´10-2 m3 ×s-1 的流量,试问油泵的功率应为多大?

      首先根据泊肃叶公式求出油被输送到1.2 km处所需要的压强差

                      .

为保持一定的流量,油泵的功率为

                .

6-13   一种黏度系数为h 的液体在重力作用下沿半径为R的细竖直管作定常流动,试证明,管中距管轴为r处液体的流速为

                       ,

式中r 为液体的密度。

6-9

      在竖直细管内取一半径为r的同心圆柱状小流体块,圆柱的高度为Dx,如图6-9所示。按题意,管中的液体在重力作用下作定常流动,既然是定常流动,任意一点的流速度都不随时间变化,所取的小流体块只能作匀速流动。所以,作用于小流体块重力与粘力应相平衡,即

      ,     (1)

式中表示半径为r处流速的梯度。因为随着r的增大流速v是减小的,如图6-9种多个平行箭头所示。所以r处流速的梯度是负的,即

                 ,

将这个关系代入式(1),得

        ,   (2) 

整理后得

,

r®R时,流速v®0,对上式积分,得

                            ,

于是可得

                             .

6-14  水在一个大气压、20°C时的黏度系数为1.0050´10-3 Pa×s,密度为1.00´103 kg×m-3,如果自来水沿内半径为0.0081 m的管子流动,此时的临界雷诺数为2000 。问管内自来水的平均流速为多大时,水流从层流向湍流转变?

  根据公式(6-26)

      .

教材中大家曾说过,由于临界雷诺数Rec 不是一个明确的数而是一个数值范围,所以vc 一般也是一个数值范围。

6-15  一个塑料小球在盛有甘油的筒中由静止下落,实验测得小球最终以匀速下落时的速度为1.22´10-2 m×s-1 ,求小球的半径。已知塑料小球的密度为2.51´103 kg×m-3 ,甘油的密度为1.26´103 kg×m-3 ,甘油的黏度系数为0.82 Pa×s

  根据公式(6-28)

                      ,

小球的半径可以表示为

                          ,

于是可以求得

              .     

       
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