§7-1  简谐振动

    简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。大家的讨论就从简谐振动开始。

  一、简谐振动的基本特征

  在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图7-1所示。当弹簧呈松弛状态时,小球在水平方向不受力的作用,此时小球处于点O,该点称为平衡位置。若将小球向右移至点M,弹簧被拉长,这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点O的弹性力F的作用。将小球释放后,小球就在弹性力F的作用下左右往返振动起来,并永远振动下去。

  为了描述小球的这种运动,大家取小球的平衡位置为坐标原点O,取通过点O的水平线为x轴。如果小球的位移为x,它所受弹性力F可以表示为

         ,       (7-1)

式中k为所取轻弹簧的劲度系数,负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为

        .        (7-2)

将式(7-1)代入式(7-2),得

       ,                                

或者改写为

图7-1

                         ,                          (7-3)

式中

                            .                                  (7-4)

式(7-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过程中,小球所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

  由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(7-3)的解可以写为以下两种形式

                 ,                   (7-5)

                       ,                       (7-6)

式中Aj 都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此大家以后再作讨论。式(7-5)和式(7-6)在物理上具有同样的意义,以后大家只取式(7-5)的形式。

  上面大家分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子,这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动,它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出,物体只要在形如 F = -kx的线性回复力的作用下运动,其位移必定满足微分方程式(7-3),而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域,任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程,都属于振动,于是大家可对简谐振动作如下的普遍定义:任何物理量x的变化规律若满足方程式

                         ,

并且w是决定于系统自身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动。

       
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