三、简谐振动的矢量图解法和复数解法

图 7-2

  简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘。在坐标系O-xy中,以为始端画一矢量A,末端为M点,如图7-2所示。若矢量A以匀角速度w绕坐标原点作逆时针方向转动时,则矢量末端Mx轴上的投影点P就在x轴上于点O两侧往返运动。如果在t  =  0时刻,矢量Ax轴的夹角为j,那么这时投影点P相对于坐标原点O的位移可以表示为

          ,                         

式中A为矢量A的长度。在任意时刻t , 矢量Ax轴的夹角变为w t+j, 则投影点P相对于坐标原点O的位移为

         .                       

所以, 当矢量A绕其始点(即坐标原点)以匀角速度w旋转时,其末端在x轴上的投影点的运动, 必定是简谐振动。图7-2(b)所描绘的曲线,是点P的位移与时间的关系曲线,称为简谐振动曲线。

    以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的矢量图解法。这种方法以后在电学和光学中都要用到。

    简谐量x还可以用复数来代表。若把一个复数 表示为

           .         (7-11)

显然,简谐量x就是这个复数 的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐量的相位与复数的辐角相对应。若要对多个简谐量进行某种运算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算, 在运算过程中,实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不会相混,所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果。因此,简谐量的复数表示法也是常用方法。

    例如,求振动速度和加速度,可以用复数进行运算。取位移的复数形式为

                        ,

振动速度的复数则为

                      ,

取速度复数 的实部,就是振动速度的真正表示式

          

用同样的方法可以计算振动加速度

                    ,

加速度的真正表示式为

            .

由上面的计算可见,用复数来代表简谐量,运算过程也是十分简便的。

       
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