四、简谐振动的能量

         从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则其动能和势能的总和是恒定的。现在让大家以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转换和守恒问题。

    弹簧振子的位移和速度分别由下式给出

                        x = A cos (w t+j) ,

                       v = -Aw sin (w t+j) .

在任意时刻,系统的动能为

                  .           (7-12)

    除了动能以外,振动系统还具有势能。对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能,并可表示为

                  .            (7-13)

    由式(7-12)和式(7-13)可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值 ;当在平衡位置时,势能为零,而速度为最大值,所以动能也达到最大值

    弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即

       ,

因为 , 所以上式可化为

                     .                  (7-14)

由上式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比。

    由公式

                   ,

可以得到

                 .             (7-15)

上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系: 在平衡位置处, x = 0, 速度为最大;在最大位移处,x = ±A, 速度为零。

       
XML 地图 | Sitemap 地图