例题 7-1  有一劲度系数为32.0 N × m-1 的轻弹簧, 放置在光滑的水平面上,其一端被固定, 另一端系一质量为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0 cm 处,然后将物体由静止释放, 物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。

    解  设物体沿x轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点。在初始时刻t = 0, 物体所处的位置在最大位移处,所以振幅为

                           A = 10.0 cm = 0.100 m .

振动角频率为

                 .

如果把振动写为一般形式, 即x = A cos (w t+j), 当t = 0时,物体处于最大位移处,x = A,那么必定有cosj =1。所以初相位j = 0。这样大家就可以写出位移与时间的关系,为

                          x = 0.100 cos 8.00 t  m .

    速度和加速度的最大值分别为

               vm = w A = 8.00×0.100 m × s-1 = 0.800 m×s-1 ,

                    am= w2 A = (8.00)2 ×0.100 m × s-2 = 6.40 m×s-2 .

速度和加速度与时间的关系分别为

                       v = -0.800 sin 8.00 t  m×s-1 ,

                         a = -6.40 cos 8.00 t  m×s-2 .

                   图 7-3

    例题 7-2  已知某简谐振动的振动曲线如图7-3所示,试写出该振动的位移与时间的关系。

    解  任何简谐振动都可以表示为

         x = A cos (w t +j)

关键是要从振动曲线求得振幅A、角频率w和初相位j

    振幅A可以从振动曲线上得到。最大位移的点P所对应的位移的大小就是振幅

          A = 4.0×10-2  m .

    大家已经分析过,振动的初相位是由初始条件决定的,所以应该根据初始时刻的位移x0 和速度v0 来确定jt = 0时的位移x0和速度v0分别由以下两式表示

                              x0 = A cos j ,                             (1)

                            v0 = -Aw sin j .                             (2)

从振动曲线上可以得到x0 = , 将此值代入式(1), 得

                       cosj  = ,    .

由振动曲线在t = 0 附近的状况可知, v0 > 0 , 同时因为Aw 都大于零,根据式(2),必定有

                               sin j < 0 ,

这样大家就可以确定, 在t = 0时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为

                                .

    最后求角频率w。从振动曲线可以看到, 在t =1s 时,位移x = 0, 代入下式

                         m ,

可得

                         m .

所以

                    .

因为w > 0,所以上式只能取+ 。另外,从振动曲线可以看到, 在t =1s , 位移x由正值变为负值。在旋转矢量图上,位移由正值变为负值,对应于旋转矢量处于+ 的位置, 而不是处于 的位置, 故应取 , 所以

                     .

    这样, 大家可以将该简谐振动具体地写为

                       m .

       
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