例题 7-3  一长度为l的无弹性细线,一端被固定在A点,另一端悬挂一质量为m、体积很小的物体。静止时,细线沿竖直方向,物体处于点O,这是振动系统的平衡位置, 如图7-4所示。若将物体移离平衡位置,使细线与竖直方向夹一小角度q,然后将物体由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动起来。这种装置称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量。

    解  大家选择小物体相对平衡位置O的角位移q为描述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,q 为正,处于平衡位置左方,q 为负。

图 7-4

    小物体受到两个力的作用,一个是重力mg, 另一个是细线的张力f。沿着物体运动的弧形路径,将重力mg分解成大小为mgcosq的径向分量和大小为mgsinq的切向分量。其中径向分量mgcosq与细线的张力f一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返回平衡位置,其作用与弹簧振子中的弹性力一样。因此,单摆的振动方程为

             ,       (1)
当偏角q很小时,sinq »q , 式(1)可以写为    

               ,          (2)

               ,                   (3)

其中

                  .                         (4)

显然, 单摆的振动方程(3)与弹簧振子的振动方程完全相似, 只是用变量q代替了变量x 。所以单摆的角位移q 与时间t的关系必定可以写成余弦函数的形式

                          q = q 0 cos (w t+j) ,

式中积分常量q 0为单摆的振幅,j 为初相位。这就证明了,在偏角q 很小时单摆的振动是简谐振动。

    单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能

             .       (5)

另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能

                        Ep = m g h = m g l (1-cosq ) ,                    (6)

式中h是当角位移为q 时物体相对平衡位置上升的高度。可将cosq 展开为

                       ,

因为q 很小,大家可以只取上式的前两项。所以式(6)可以化为

                  .                (7)

可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数。

    单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即

       ,

因为 , 所以上式可以化为

                       .                 (8)

上式表示, 尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比。

       
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