§ 7-2  简谐振动的叠加

    大家曾经说过,简谐振动是最简单也是最基本的振动形式,任何一个复杂的振动都可以由多个不同频率的简谐振动叠加而成。那么几个简谐振动是怎样合成一个复杂的振动的呢?一般的振动合成问题是比较复杂的,大家的讨论只限于简谐振动合成的几种简单情况。

         在讨论了简谐振动的合成之后,将简要先容一个复杂的周期振动是如何表示为多个简谐振动的叠加的,也就是振动的分解问题。

    一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成

图 7-5

    设一个物体同时参与了在同一直线(如x轴)上的两个频率相同的简谐振动,并且这两个简谐振动分别表示为

        x1 = A1 cos (w t+j1) ,

        x2 = A2 cos (w t+j2) .

既然两个简谐振动处于同一条直线上,大家可以认为x1x2是相对同一平衡位置的位移,于是,物体所参与的合振动就一定也处于这同一条直线上,合位移x应等于两个分位移x1x2的代数和,即

         x = x1+x2

   = A1 cos (w t+j1) + A2 cos (w t+j2) .

    现在让大家根据简谐振动的矢量图解法求物体所参与的合振动。上述两个分振动分别与旋转矢量A1A2相对应,如图7-5所示。在初始时刻,这两个矢量与x轴的夹角分别为j1j2 。两个振动的合成反映在矢量图上应该是两个矢量的合成。所以,合成的振动应该是矢量A1A2的合矢量A的末端在x轴上的投影点沿x轴的振动。因为矢量A1A2都以角速度w 绕点O作逆时针方向旋转,因而它们的夹角是不变的,始终等于(j2 -j1)。合矢量A的长度也必定是恒定的,并以同样的角速度w 绕点O作逆时针方向旋转。矢量A的末端在x轴上的投影点的位移一定可以表示为

                       x = A cos (w t+j ),                   (7-16)

这显然就是物体所参与的合振动的位移。此式表示,在同一条直线上两个频率相同的简谐振动的合振动,是一个同频率的简谐振动。由图7-5可以求得合振动的振幅和初相位。合振动的振幅为

               ,              (7-17)

合振动的初相位为

                   .            (7-18)

图7-6

由式(7-17)可见,合振动的振幅不仅取决于两个分振动的振幅,而且与它们的相位差(j2 -j1)有关。下面根据相位差(j2 -j1)的数值,讨论两种特殊情况。

    (1) 如果分振动的相位差 j2 -j1 = ± 2 k p,k = 0, 1, 2, …,那么从式(7-17)可得

 

                      (7-19)  

这表示,当两个分振动相位相等或相位差为    p的偶数倍时,合振动的振幅等于两个分振动的振幅之和,这种情形称为振动互相加强,如图7-6(a)中的虚线所示;

    (2) 如果分振动的相位差 j2 -j1 = ± (2k+1)pk = 0, 1, 2, …,那么从式(7-17)可得

   

.    (7-20)

这表示,当两个分振动相位相反或相位差为 p 的奇数倍时,合振动的振幅等于两个分振动振幅之差的绝对值,这种情形称为振动互相减弱,如图7-6(b)中虚线所示。

    在一般情况下,相位差(j2-j1)不一定是 p 的整数倍,合振动的振幅A则处于A1+A2 和 |A1-A2| 之间的某一确定值。

       
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