二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成

    设某物体同时参与了在同一直线(x轴)上的两个频率相近的简谐振动,并且这两个简谐振动分别为

                       x1 = A1 cos (w1t +j1 ) ,

                      x2 = A2 cos (w 2 t +j 2) .

与上一种情况相同,物体所参与的合振动必然在同一直线上,合位移x应等于两个分位移x1x2的代数和,即

               x = A1 cos (w1t +j1) +A2 cos (w 2 t +j 2 ) .        (7-21)

但是与上一种情况所不同的是,这时的合振动不再是简谐振动了,而是一种复杂的振动。

图 7-7

    首先,大家用简谐振动的矢量图解法看一下这种振动的大致情况。两个分振动分别对应于旋转矢量A1A2。由于这两个旋转矢量绕点O转动的角速度不同,所以它们之间的夹角随时间而变化。假如在某一瞬间,旋转矢量A1A2 和它们的合矢量A处于图7-7中细实线所示的位置,而在以后的某一瞬间,旋转矢量A1A2分别到达A1¢A2¢的位置,它们的合矢量变为A¢,如图7-7中粗实线所示。在这两个任意时刻,由于两个分振动所对应的旋转矢量的夹角不同,合矢量AA¢ 的长度也不同,由合矢量所对应的合振动的振幅自然也不一样。由此大家可以断定,合振动是振幅随时间变化的振动。

    在t时刻,旋转矢量A1A2之间的夹角为[(w2 -w1) t + (j2 -j1)],合矢量A的长度即为合振动的振幅,可以表示为

        .        (7-22)

由上式可见,合振动的振幅随时间在最大值 (A1+A2) 和最小值 |A1-A2| 之间变化。如果w2 >w1,或者分振动的频率n2 >n1,那么每秒钟旋转矢量A2绕点On2圈,旋转矢量A1绕点On1圈,A2A1多转(n2-n1)圈。A2A1 每多转一圈,就会出现一次两者方向相同的机会和一次两者方向相反的机会,所以在1 s内应出现(n2 -n1)次同方向的机会和(n2-n1)次反方向的机会。A1A2同方向时,合振动的振幅为(A1+A2);A1A2反方向时,合振动的振幅为|A1 -A2 |。这样便形成了由于两个分振动的频率的微小差异而产生的合振动振幅时而加强、时而减弱的所谓拍现象。合振动在1 s 内加强或减弱的次数称为拍频。显然拍频为

                           n = n2-n1 .                     (7-23)

    另外,大家还可以利用三角函数的和差化积,求出拍频。为简便起见,假定两个简谐振动的振幅和初相位分别相同,为Aj,则式(7-21)可化为

              .          (7-24)

在上式中,当w1 w2 相差很小时,(w2 -w1)比w1w2都小得多,因而2Acos[(w2 -w1 )t/2]是随时间缓慢变化的量,可以把它的绝对值看作合振动的振幅,这样,式(7-24)就是此合振动,即拍的数学表达式。由此式可见,合振动的振幅是时间的周期性函数。由于余弦函数的绝对值是以 p为周期的,所以振幅2Aïcos[(w2 -w1 )t/2]ï的周期是

                    ,

故拍频为

                    ,                (7-25)

图7-8

与式(7-23)相同。

    根据上面的分析所画出的拍现象的振动曲线,表示在图7-8中。

    利用演示实验很容易证实拍现象。取两个频率相同的音叉,在其中一个音叉上套上一个小铁圈或粘贴上一块橡皮泥,使这个音叉的频率发生很小的改变。当同时敲击这两个音叉时,除了音叉的振声以外,大家还会听到另一种嗡、嗡的响声,这便是合振动振幅周期性变化所发出的拍音。拍现象在声学和无线电技术中有许多应用。如果让标准音叉与待调整的钢琴某一键同时发音,若出现拍音,就表示该键频率与标准音叉的频率有差异,调整该键频率直到拍音消失,该键频率就被校准了。超外差收音机是利用拍现象的另一个典型例子,它是将被接收讯号与本机振荡所产生的拍频讯号进行放大、检波,从而提高整机灵敏度的。

       
XML 地图 | Sitemap 地图